Problem med diskret matematik, nästan löst!

Mitt problem är:

Jag har en rektangel med sidorna 7 och 24 cm. Jag ska bevisa att om jag sätter ut 15 punkter i rektangeln så finns det alltid minst två punkter som har HÖGST 5 cm mellan varandra.

Med lite räknande får jag fram att hela rektangeln har en diagonal på 25 cm, rektangeln kan delas in i mindre rektanglar vars sidor är 4.8 x 1.4 cm , de har diagonalen 5. Jag har ritat upp detta skalenligt, ritat in alla små rektanglar och satt ut 15 punkter så långt ifrån varandra det går och finner att det finns två vars avstånd är högst 5.

Räcker detta som "bevis" ? Jag vet inte riktigt hur jag ska bevisa mer. Det är självklart (för mig själv iallafall) när man ser alla små diagonaler i min bild att uppgiften är löst, men mer bevis än en teckning har jag tyvärr inte hehe. Hur hade ni gjort?

Tack på förhand

Att du inte lyckas placera ut punkter med avstånd minst 5 cm mellan sig bevisar inte att det inte går.

Försök dela upp den stora rektangeln i 14 mindre rektanglar vilka alla har diagonal högst 5 cm. Enligt duvhålsprincipen måste då minst 2 av de 15 punkterna hamna inom samma mindre rektangel och har därmed avstånd högst 5 cm.

Jag HAR lyckats visa med min fina teckning att det går att lösa Jag tänkte göra så som du föreslår tidigare. Om jag tänker på det nu igen kommer jag endast på ett sätt att dela upp rektangeln i 14 mindre lika stora rektanglar, vilket är att varje liten rektangel måste ha siorna 12 och 1 cm. Det ger en diagonal på 12.04159 cm ... Om jag placerar ut två punkter i en sådan rektangel kan de fortfarande vara längre från varandra än 5 cm.

Att göra 14 mindre rektanglar med diagonalen 5 verkar inte ens möjligt. De mindre rektanglarna jag har just nu är hela 25 st...

Hur har du visat det med din teckning? Jag uppfattade det som att du har testat en massa kombinationer som du anser är uttömmande och att du har lyckats övertyga dig själv om att det inte går att placera ut 15 punkter utan att minst två hamnar inom 5 cm från varandra.

Men har du verkligen lyckats bevisa det?


Vad händer om du delar upp rektangelns längd i 7 delar och dess bredd i 2 delar?

Ja, ett riktigt bevis i form med siffror och matte är det inte, men det ser väldigt väldigt mycket ut som att teckningen visar det jag är ute efter. Men det går ju inte bara att komma med en teckning och säga att det är löst :P

Detta problemet har varit uppe förr och finns här:

http://www.mai.liu.se/~betur/11/diskret_bok.pdf

Som uppgift 5.48.

Till min besvikelse fanns det inget svar i facit... Jag har ännu inte lyckats komma över en lösning till detta problemet.
Det sista du sa om att dela upp längden och bredden, det slutar med att man har 14st rektanglar med sidorna 1 och 12. Det ger att diagonalen är strax över 12, typ 12.04 vill jag minnas.

Rektangeln i uppgiften har en area på 168, det är delbart med 14 och blir då 12 a.e.
Då tänkte jag testa att tillverka 14 kvadrater med arean 12 och diagonalen 12. Det slutar i 14 st kvadrater med sidorna 3,5355533906 cm.

Några sådana kvadrater kan jag tyvärr inte bygga rektangeln i uppgiften med. Då gissar jag att det måste vara rektanglar, med arean 12 och diagonalen 5. Hur nu det ska gå till.

Jag vet verkligen inte var jag ska fortsätta härifrån

uppgiften jag har är samma uppgift men skriven lite annorlunda, såhär:

visa att om man sätter 15 punkter i en rektangel med sidlängderna 7 cm och 24 cm så finns det två punkter vars avstånd är högst 5cm.


Jag tolkar det på exakt samma sätt som uppgiften vars mattebok jag länkade till.

Jag missförstod ditt senaste inlägg som du kanske förstod om du läste mitt precis efter hehe.

Jag gjorde som du sa nu, delade 7 på 2 och 24 på 7. Då fick jag 14 st rektanglar med arean 12, sidorna (24/7) och (7/2) . Det ger mig en diagonal som är MINDRE än 5. Eftersom jag har 15 punkter och 14 rektanglar (lådor) så verkar problemet vara löst. Så jäkla surt att jag lagt ner så mycket tid på det haha.

Tusen tack!

Kan du nu formulera ett fullständigt bevis som hänvisar till Dirichlets lådprincip?

Ja. Eftersom jag har 14 st rektanglar med diagonal < 5cm om perfekt fyller upp den stora 7x24 rektangeln och jag har 15 punkter så kommer två punkter hamna i en liten rektangel. Eftersom diagonalen är den längsta sträckan där så kommer de ligga närmre än 5 från varandra