Förstaderivatan och grafen

Hej,

Vad gör man för att ta reda på var kurvan har sina extrempunkterna?

Funktionen är: x^4+0,5x^2+0,5

Om man deriverar med första derivatan så blir det 4x^3+x
och med andra derivatan blir det 12x^2+1.

Men vad gör man sen? Ska man använda pq-formeln? Men hur ska man använda formeln när det finns 1? Då måste man dela 1 med 12 för att kunna få x^2?

Du deriverar en gång och hittar nollställena till derivatan.

Sätt förstaderivatan lika med noll. Därefter finner du x-värdena för extrempunkterna.

Andraderivatan använder du med de x-värdena du får fram med förstaderivatan. Detta för att se om extrempunkterna är av maximi- eller minima-form.

Om värdet på andraderivatan blir större än noll är kurvan minimi och mindre än noll maximi.

Blir det såhär, eller?

x^4-0,5x^2+0.5
4x^3-1=0
4x(x^2-0,25)=0

Nej.

4x^3-x=0

När man söker efter extrempunkter så söker du efter ställen i grafen så söker du punkter där tangentens lutning är 0. För att hitta tangentens lutning deriverar du en gång.

I det här fallet så ser första derivatan ut såhär


Lutningen ska vara, som redan konstaterat, 0. Därför måste denna funktion vara lika med 0.


Lös ekvationen. Sedan de x-värden du får sätter du in i den ursprungliga funktionen


Och då får du ut y-värdena, och då har du både x och y-koordinater.
För att ta reda på max/min-punkter kan du antingen använda dig av teckentabell eller derivera ytterligare en gång och sätta in x-värdena återigen.

Såhär?

x(4x² - 1) = 0

x(2x + 1)(2x - 1) = 0

x1 = 0

x2 = - 1/2

x3 = 1/2

Ja.

Så när man vill ta reda på y värdet, så sätter man in x-värdet i funktionen?

Det vill säga:

x= 0 ger:0^4+0,5*0^2+0,5= 0,5
x= -0,5 ger: -0,5^4+0,5*-0,5^2+0,5= 0.5625
x= 0,5 ger: 0,5^4+0,5*+0,5^2+0,5 = 0.6875