Linjär Algebra, Vektorrum behöver hjälp! mängder utgör ett vektorrum

1. Vilken eller vilka av följande mängder utgör ett vektorrum?

a) M1 = [(x1,x2,x3) € R^3 | (x1-x2)^2 + x3 = 0]
b) M2 = [(x1,x2,x3) € R^3 | x1 + x2 = 3x3]
c) M3 = [(x1,x2,x3) € R^3 |x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 0 ]
d) M4 = [p(x) € P2 | p(3) = 0 ]

hur motiverar man noggrant?
anmärkning : P2 består som bekant av alla polynom över R av grad ≤ 2.

2. a) bestäm en bas i det eller de vektorrum du funnit i 1.
b) bestäm för varje reelt tal a dimensionen av det linjära höljet
L = [ (1,1,1,a) , (1,a,1,1) , (a,1,a,1) , (1,a,a,1) , (a,1,1,1)

Skulle vara jätte tacksam om någon hade kunnat visa med uträkningar hur man ska göra, har kört fast helt. Tack på förhand.

Förstår du vad du ska göra? Du ska visa att axiomen för ett vektorrum gäller/inte gäller för de olika mängderna i 1. Kolla under "definition" på https://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4rt_rum

Vill du visa att en mängd är ett vektorrum måste du visa att alla axiom gäller, vill du visa att mängden inte är ett vektorrum räcker det att hitta ett enda axiom som inte gäller.

Jo jag förstår att man ska visa dem men jag förstår inte hur jag ska visa det, lyckas in när jag försöker kan du kanske visa eller någon annan som kan visa hur man gör? Tack på förhand!

b) och d) är högst sannolikt vektorrum. Ett sätt att visa att de är vektorrum är att visa att de uppfyller definitionen av ett vektorrum. Andra sätt kan vara att tillämpa olika satser för att visa det på ett mer kortfattat sätt. Du kanske kan visa att några av dem är delrum i något känt vektorrum.

a) och c) är inga vektorrum. För att bevisa det räcker det att komma på ett motexempel i vart och ett av fallen.

a) (1,0-1) tillhör M1. Men 2*(1,0-1)=(2,0,-2) tillhör inte M1. Eftersom vektorrum är slutna under multiplikation med skalär är M1 inte ett vektorrum.

c) (-1,0,0) tillhör M3, men (-1)*(-1,0,0)=(1,0,0) tillhör inte M3. Alltså är inte M3 sluten under multiplikation med skalär, så M3 är inte ett vektorrum.

kan du hjälpa mig med D också? jag sitter och bläddrar och bläddrar i matteboken men förstår inte vad jag ska göra... kan inte ens komma på en start.

Ett sätt är att visa att M4 uppfyller definitionen av ett vektorrum. I din bok bör stå någonstans vad ett vektorrum är. I min bok står 10 regler som krävs för att en mängd vektorer tillsammans med skalärer ska kallas för ett vektorrum.

Alternativt kanske det redan står någonstans att P2 är ett vektorrum. Då kan du visa att M4 är ett delrum i P2, genom någon sats.

Angående M₄ är det väl egentligen inte så mycket man behöver visa. Givet polynom p och q som ligger i rummet, skapa h = p + q. Det är uppenbart att h ligger i P₂ eftersom p och q ligger i P₂ som är ett vektorrum. Vidare, h(3) = p(3) + q(3) = 0 + 0 = 0 så då gäller att:

(i) p, q ∈ M₄ ⇒ p + q ∈ M₄

Samma antagande, vi har nu en konstant c och vi skapar h = c·p. På samma sätt som ovan är det uppenbart att h ligger i P₂. Det gäller att h(3) = c·p(3) = c·0 = 0. Alltså:

(ii) p ∈ M₄, c någon konstant ⇒ c·p ∈ M₄

Eftersom (i) och (ii) är uppfyllda gäller att M₄ är ett vektorrum.

Kan underlätta att verifiera två villkor som gäller för underrum, alltså om V är ett vektorrum så är delmängden V' också ett vektorrum om följande gäller:

1. Slutenhet för addition: x + y ∈ V'

2. Slutenhet för multiplikation med skalär: cx ∈ V'

om x,y ∈ V'

Bör tilläggas att ett krav också är att V' ska vara icketom.