Cirkelnsekvation/tangent

Jag har kommit fram till: X^2-X+0.5=r^2
Hur går jag vidare härifrån? det är ju två okända och endast en ekvation?


http://sv.tinypic.com/r/2iux9g3/8

När du sätter in y = x+1 i ekv för cirkeln får du väl (?):

r² = x²+ (x-1)² = 2x² - 2x + 1

Bestäm x ur denna ekvation! Vad är villkoret för att ekvationens två rötter skall
sammanfalla? - Så att linjen tangerar cirkeln.

[; r^2 = x^2 + (y-2)^2 ;]

Detta är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i punkten (0,2)

[; y = x + 1 ;] är ekvationen för den räta linjen.

Kalla den punkt där linjen tangerar cirkeln för [; (x_0,y_0) = (x_0, x_0+1) ;]

Vektorn från denna punkt till cirkelns medelpunkt är [; (0,2) - (x_0,x_0+1) = (0-x_0, 2-(x_0+1)) = (-x_0, 1-x_0) ;]

Denna vektor ska vara vinkelrät mot linjen som har riktningsvektorn (1, 1)
Sätt skalärprodukten av de två vektorerna till 0

[;
\\
(-x_0, 1-x_0)\cdot (1, 1) = 1-2x_0 = 0
\\
x_0 = 0.5
;]
Punkten (0.5, 1.5) ligger alltså på cirkeln vilket räcker för att bestämma r

[;
\\
r^2 = 0.5^2 + (1.5-2)^2 = 0.5
\\
r=\sqrt{0.5}
;]

Se figur

Vi skriver om ekvationen ovan:

½r² = x² - x + ½ = (x - ½)² - ¼ + ½

och får en andragradsekvation i x:

(x - ½)² = ½r²- ¼ = ½(r² - ½).

Dubbelrot x = ½ då r²= ½.

Välj r = 1/√2 så tangerar linjen y = x+1 cirkeln:

http://sv.tinypic.com/view.php?pic=6...8#.UyDAvD95PTo

--------
Gillade imageshack bättre men de vill ha betalt nu :-(

...

Tack för hjälpen. Jag hoppas någon annan har användning av svaret. Jag ger däremot upp.
''(x - ½)² - ¼ + ½''
begriper ingenting av detta.

Kvadratkomplettering (lägg till och dra ifrån ¼):

x² - x + ½ = (x² - x + ¼) - ¼ + ½ = (x - ½)² - ¼ + ½.

Om du känner dig mer hemmastadd med pq-metoden kan du använda den istället.
Du får en dubbelrot som lösning om du sätter rotuttrycket = 0.

Om jag vill använda pq-metoden, sätter jag då uttrycket: ½r² = x² - x + ½

till X^2-x + 1/2 = 0 ? och när väl X är uträknat -> 1/2r^2 = x-värdet ?

Nej, du måste behålla r²/2 i ekvationen! Så här alltså:

x^2 - x + 1/2 - r^2/2 = 0.

Du har en andragradare i x! Lös ekvationen och betrakta r^2/2 som vilket tal som helst.
Sen, skifta inte mellan stora och små x när du skriver.