En paradox (en skenbar motsägelse)

Ja men är det inte lite arrogant av kvantfysiken att fortsätta använda heltal till större storlek, och decimaler till mindre storlek?

De kan vara precis lika stora: om avståndet emellan dem är långt nog.

så då blir det ju helt plötsligt mer än en analogi.. det blir en automorfism över en viss-tid?
och kan jag inte se hela automorfismen under min livslängd, kan jag heller inte avgöra hur den kommer att se ut... dvs hur den skapta gravitationsvågen som blir som tidsdilatation när gravitationsvågen går igenom ett visst band av elementpartiklar... och då vet jag inte heller hur den kan vara konstant?

Mitt inlägg var gjort från ett strikt matematiskt perspektiv. Håller mig utanför fysikdiskussionen!

Decimaltalen delas upp i tal med ändliga och oändliga decimalföljder, ganska godtyckligt. Om ett tal för något N har att för alla n>N så är n:te decimalen 0 säger vi att talet har ändlig decimalföljd med N decimaler. N i sig har ingen begränsning men måste väljas explicit för ett visst tal för att talet ska kunna kallas ändligt. Om vi för något tal har att det inte finns något sådant N säger vi att det har oändlig decimalföljd. För alla decimaltal kan vi kolla på n:te decimalen, oavsett n.

Eftersom de ändliga decimaltalen bara kan beskriva rationella tal har vi att ändliga- är en delmängd av oändliga decimaltal. Notera att jag säger "(o)ändligt decimaltal" om decimaltal med (o)ändlig decimalföljd.

Fast att göra som du är naturligtvis bättre, fast då har vi det här problemet att vi måste ange ett godtyckligt (tillräckligt stort) N men vi rör oss då i en ändlig delmängd av de ändliga, decimalbråken inte hela mängden av ändliga decimalbråk. En utmärkt lösning tycker jag, men inte de matematiker jag talat med. Om jag frågar varför, får jag svar som oestetiskt, klumpigt eller onödigt.

Jag menar förstås att varje tal som har ändlig decimalföljd har ett eget N som beskriver antal decimaler i talet. Alltså, om vi säger "välj alla tal som har ett N" så får vi alla ändliga decimaltal. Inte att man ska välja ett enda N och sen nöja sig med de decimaltal som följer. Även under denna tolkning finns det ingen begränsning på hur stort ett visst N kan vara.

Jaha, fast då måste man ju fastställa N för varje enskilt tal om man vill tala om mängden av ändliga decimalbråk.

Ett liknande problem är: Hur kan man tala om den oändliga mängden av alla ändliga heltal som ju är välordnad så att varje uppåt begränsad delmängd har ett största tal. Frågan är om det alls är meningsfullt och entydigt att tala om "alla ändliga heltal"? Och om det är meningsfullt och entydigt om det då är självmotsägande eller endast paradoxalt att säga att de naturliga talen kan bli hur stora som helst men inte oändligt stora.

Nu brukar inte fysiker använda induktionsaxiomet men de som sysslar med matematisk logik använder det och det ingår också i Zermelo-Fraenkels mängdlära och i PA.