Oändliga serier [matematik/mikroekonomi]

Sitter med en uppgift i mikroekonomi som handlar om spelteori. Uppgiften bygger till stor del på ett matematiskt resultat som ges i första delen av uppgiften och jag har problem med att förstå det och hoppas på hjälp här. Nedan kommer uppgiften så som den är given:

"Oändliga serier: ett matematiskt resultat

Vi börjar med att visa ett matematiskt resultat som kommer att vara till nytta.

Betrakta S = 1 + X + X^2 + X^3 + ... för 0 < X < 1.

Serien är oändlig och saknar därför en sista term. Ändå är S ett ändligt tal – notera att X^n -> 0 då n -> oändligheten. Vi säger att denna oändliga serie ”konvergerar” till S. Vi ska nu härleda en enkel
regel som låter oss räkna ut vad S blir.

Tricket är att skriva S = 1 + XS

vilket följer direkt ur definitionen av S. Om vi nu löser ut S får vi S = 1 / (1 - X)

Visa, utifrån samma typ av logik som ovan, att 1 + X^2 + X^4 + X^6 + ... = 1 / (1 - X^2)"

För det första är jag inte riktigt med hur S = 1 +XS "följer direkt ur definitionen". Hur kommer han fram till det? Utlösningen av S är jag med på, och det sista jag ska visa utifrån samma typ av logik är jag helt lost på.

Uppskattar all hjälp jag kan få.

EDIT: Ändring ang vilkoret för x.

Ett omöjligt villkor!

Tricket är att du har

S = 1 + X + X^2 + X^3 + X^4 + ...

Sen multiplicerar du detta med X så har du
XS = X + X^2 + X^3 + ...

Nu subtraherar du XS från S, och då försvinner alla termer utom 1.

Jag förstår inte vad du menar med att subtrahera XS från S? Menar du från S-sidan, och hur tar det isf bort alla termer utom 1?

S_n = 1 + X + X^2 + X^3 + ... + X^n
XS_n = X + X^2 + X^3 + X^4... + X^(n+1)
S_n-XS_n = 1 - X^(n+1) <=>
S_n(1-X) = 1 - X^(n+1) <=>
S_n = [1 - X^(n+1)]/[1-X]

Om 0 < X < 1 kommer X^(n + 1) -> 0 då n -> ∞

Eller med dina beteckningar: S = 1 + X + X^2 + X^3 + ...
XS = X + X^2 + X^3 + ...
1 + XS = 1 + X + X^2 + X^3 + ... = S, vsv.

Tack för förtydligandet, kan du förklara steget jag har fetmarkerat lite närmare? Får inte riktigt ihop
vad som händer här. S_n kommer tillbaks och tecknet byts på XS_n? Och hur går högerledet från X + X^2 + X^3 + X^4... + X^(n+1) till 1 - X^(n+1)?

Tar man S_n-XS_n kollapsar de flesta termerna. Hela summan X+X^2+X^3+...+X^n finns i båda serierna och tar alltså ut varandra. Endast 1 finns kvar från första, och man drar ifrån X^(n+1) med den andra. Kvar alltså 1-X^(n+1).

Hur blir den här biten av uppgiften?

"Visa, utifrån samma typ av logik som ovan, att 1 + X^2 + X^4 + X^6 + ... = 1 / (1 - X^2)"

Blir inte klok på detta!

Jo. Modifiera samma metod du använde ovan, fast multiplicera med X^2 istället. 1 + X^2 + X^4 + X^6 + ... = S, X^2 + X^4 + X^6 + X^8 ... = X^2S.

S - X^2S = 1 S = 1 / (1 - X^2)