Hej,
jag sitter och försöker visa att händelser är oberoende.
Bakgrundshistoria/förutsättningar: Låt
A = (x1+...+xn) + (z1+...+zm)
B = (y1+...+yn) + (z1+...+zm)
där varje variabel är i.i.d. och binär med en känd distribution.
Låt x vara en godtycklig sådan variabal, då är Pr[x=1]=d, där
d är försvinnande liten.
Definiera händelserna {A < p}, {B < p}. Vi kan visa att
e = Pr[{A < p} | {B < p}] - Pr[{A < p}] = O(d)
genom att lagen om total sannolikhet.
Pr[{A < p} | {B < p}] = Pr[{A-z1 < p} | {B-z1 < p}]*(1-d) + O(d)
Då är
e = (Pr[{A-z1 < p} | {B-z1 < p}] - Pr[{A-z1 < p}])*(1-d) + O(d)
= (Pr[{A-z1-z2 < p} | {B-z1-z2 < p}] - Pr[{A-z1-z2 < p}])*(1-d)*(1-d) + O(d)
...
= 0*(1-d)^m* + O(d)
till alla variabler är eliminerade. Okej, so far so good.
De är uppenbarligen parvis oberoende.
Här kommer jag till frågan, kan jag enkelt visa totalt
oberoende (upp till någon godtyckligt funktion av d)?
Antag att vi har ett flertal summor som har en lågt
förväntat antal överlappande i.i.d. variabler, dvs.
C = (u1+...+un) + (z1+...+zm)
...
etc.
Räcker det att visa att samma för givet en godtycklig mängd av
händelser dvs.
Pr[{A < p}|{B < p}, {C < p},..., {Z > p},...] - Pr[{A < p}] = O(d)
för att visa att händelserna är totalt oberoende?
