Kombinatorik

[MA 5/E] Kombinatorik
Vid en undersökning tillfrågades 1000 personer om de besökt USA, Spanien och Frankrike. Det visade sig att 623 hade besökt USA, 452 Spanien och 898 Frankrike. 366 personer hade besökt både USA och Frankrike, 515 personer hade besökt både USA och Spanien. 748 personer hade besökt alla tre länderna.

a) Hur många personer hade besökt ngn av dessa länder?

b) hur många personer hade inte besökt någon av dessa länder?

lösning;

a)

Det är här jag inte rikitg vet hur jag ska tänka men tänkte kolla om det är rätt att tänka på att summera rösterna för USA, Frankrike samt Spanien och sen ta minus rösterna för summan av rösterna för de som har (besökt både USA och Spanien), (besökt både USA och Spanien) och (besökt alla tre länder) alltså;

1973-1629=334 personer har besökt ngt av dessa länder.

b) den är ju ganska lätt då man bara tar det totala som ärr 1000 personer minus 334, alltså 666 personer.


Då jag kollar på facit så är mina svar fel:-(. är det ens rätt tänkt från början och i så fall var gör jag fel?

Själva uppgiften verkar motsägelsefull. 748 personer har besökt alla tre länderna men bara 452 har besökt Spanien och bara 623 har besökt USA? 515 Personer har besökt både USA och Spanien men bara 452 har besökt Spanien?

Om tex antalet som besökt alla tre länder inte räknas bland dom som bara besökt Spanien då får via att 452+748 är fler än dom 1000 personer som frågades.

Om dom som besökt alla tre länder ingår bland dom som bara besökt Spanien då får vi en motsägelse då det inte kan finnas fler personer som besökt alla tre länder än personer som besökt Spanien.

Upgiften verkar olösbar.

det har du helt rätt i, tänkte inte alls på det men är intresserad över att få veta hur man ska lösa ett sådant uppgift. om vi ändrar siffrorna till
623 hade besökt USA
452 Spanien
898 Frankrike

samt

366 personer hade besökt både USA och Frankrike
389 personer hade besökt både USA och Spanien
150 personer hade besökt alla tre länderna.

Det går fortfarande inte ihop, om 898 personer besökt Frankrike och 623 USA av 1000 personer måste minst 521 personer, (623-(1000-898)), besökt både Frankrike och USA, eller enklare uttryckt dom personer som inte besökt Frankrike från dom som har besökt USA. Vilket är större än dina 366. Som mest är det 623, dvs alla som besökt USA har även besökt Frankrike.

Vanligtvis med denna typen av problem räknar man ut hur många som "minst" har besökt si och så länder. Jag rekommenderar att du hittar ett liknande "riktigt" problem från nätet så ska vi säkert kunna gå igenom det. D.V.S om du inte har något från en lärobok.

Antag att du har ett fall där siffrorna går ihop, och har tre "stora" mängder (som i det här fallet motsvarar tre länder). Då beräknas totalen T enligt:

T=(alla som varit till 1)+(alla som varit till 2)+(alla som varit till 3)-(alla som varit till 1 och 2)-(alla som varit till 1 och 3)-(alla som varit till 2 och 3)+(alla som varit till 1, 2 och 3)

Detta är ett specialfall av den s.k. inklusion-exklusionsprincipen där antalet mängder är 3. I fallet 3 mängder är även lämpligt att rita ett s.k. Venn-diagram för att enkelt se vad man har att göra med.