Fråga om automorfism

Hur integrerar man denna teori med det som står om Galoisgrupp på Wikipedia?

http://sv.wikipedia.org/wiki/Galoisgrupp

Finns det någon metod för att systematiskt undersöka vilka som är alla snälla funktioner till en ekvation?

Eftersom koefficienterna till en ekvation är olika beroende på x-term så borde det väl talas om en mängd av snälla funktioner för en viss koefficient?

jag kanske har fel, men borde inte det ha något med par-vinklar att göra? Om man utgår från orgio är inte alla "snälla funktioner" de vinkelpar som ligger på +?

Om vi utgår från det som jag har skrivit här, och försöker översätta till det mer abstrakta perspektivet som Wikipedia-artikeln har: Säg att vi har en ekvation med rationella koefficienter, t.ex. x^3 + x^2 + 1 = 0, och säg att rötterna är a_1, a_2, a_3. Vi antar att dessa är olika.

Som baskropp tar vi alltid F = Q. Vi låter då E vara kroppen Q(a_1, a_2, a_3), dvs den kropp bestående av alla tal på formen

f(a_1, a_2, a_3) (*)

där f är en rationell funktion med rationella koefficienter. Då kommer E/F vara en Galoisutvidgning.

Säg att α nu är en automorfism av E som fixerar F punktvis. Det visar sig då att α måste permutera rötterna a_1, a_2, a_3, dvs att α tar a_1, a_2, a_3 till samma tre tal, fast eventuellt i en annan ordning. Så låt σ beteckna den permutationen, dvs låt σ:{a_1, a_2, a_3} -> {a_1, a_2, a_3} definieras av σ(a_i) = α(a_i).

Om man vet σ, så kan man faktiskt räkna ut vad α gör med alla tal på formen (*), nämligen:

α(f(a_1, a_2, a_3)) = f(σ(a_1), σ(a_2), σ(a_3)). (1)

Detta har som konsekvens att α bestäms entydigt av σ, så det svarar till varje α ett unikt σ.

Men alla permutationer är inte möjliga σ:n. Detta kan också ses från (1). Ty antag att f är en snäll funktion. Eftersom f(a_1, a_2, a_3) är ett rationellt tal, och vi antog att α fixerade alla rationella tal, så måste vi ha att

f(a_1, a_2, a_3) = f(σ(a_1), σ(a_2), σ(a_3)). (2)

Om σ är en permutation som inte uppfyller detta (för alla snälla f), så kan σ omöjligen komma från något α.

Omvänt gäller att om σ uppfyller (2) för alla snälla f, så måste σ komma från något α. Detta kan man visa genom att helt enkelt definiera α enligt (1), och visa att det är en automorfism av E som fixerar F.

Vi har nu definierat en bijektiv korrespondens mellan grupperna

Aut(E/F) = {automorfismer α av E som fixerar F}

samt

{permutationer σ av {a_1, a_2, a_3} som uppfyller (2) för samtliga snälla f}.

Detta visar att dessa grupper är isomorfa, dvs att definitionen av Galoisgrupp som jag beskrivit i tråden är ekvivalent med den som står på Wikipedia.


Det är ett ganska vanskligt företag att göra det "direkt" utan att först försöka fördjupa sig i teorin. Däremot så finns det ganska många satser i Galoisteorin som hjälper en att bestämma Galoisgruppen, och därigenom försöka reda ut vilka de snälla funktionerna är.

Tack dbshw för att du delar med dig av dina kunskaper i Galoisteori.

Om E är en kroppsutvidgning av kroppen F, vilken är då den större kroppen av de två kropparna?

Jag tror att E är en större kropp än F.

Att E är en kroppsutvidgning av F markeras tydligen som E/F (E över F).

Båda dessa påståenden är korrekta.

... för en kroppsutvidgning är när ett objekt delar sig i bitar? och dessa bitar är F?
det förefaller sig väl ganska självfallet att objektet F är störst, annars är frågan felformulerad för mig

rent praktiskt kan väl inte ett atom gå emot "värmes ledningslagar"?
om man tänker det på en atmosfärisk nivå...
Så här måste det vara tvärtom?

Är det möjligt att göra beräkningarna så att f(a_1, a_2, a_3) är en komplex funktion med rationella koefficienter? Det borde väl också vara en Galoisutvidgning?

Det kanske beror på vilken typ av rötter som ekvationen vars Galoisgrupp vi vill bestämma har? Om det är en irreducibel ekvation över Q så kanske f(a_1, a_2, a_3) är en komplex funktion med rationella koefficienter. Om det istället är en reducibel ekvation över Q så kanske f(a_1, a_2, a_3) är en rationell funktion med rationella koefficienter.

Ligger det någon sanning i min teori?

"In mathematics, more specifically in abstract algebra, Galois theory, named after Évariste Galois, provides a connection between field theory and group theory. Using Galois theory, certain problems in field theory can be reduced to group theory, which is in some sense simpler and better understood."

Rent konkret betyder väl det, "med galois teori kan man jämföra energikällor"?

Och hur kom du till den slutsatsen?

Jag förstår inte vad du menar med "komplex funktion". Men jag tror att viss förvirring kan bero på att ordet "rationell" används i två olika betydelser i samma mening:

• Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som kvoten av två heltal. T.ex. 3/7 eller 5.
• En rationell funktion är en funktion som kan skrivas som kvoten av två polynom. T.ex. (x + 1)/(x^2 + 1)

Dessa två koncept har egentligen inte så mycket med varandra att göra, så det är kanske lite förvirrande att de har samma namn. Och bättre blir det knappast av att vi faktiskt behöver båda.

Så när jag säger "rationell funktion med rationella koefficienter" menar jag en funktion, som kan skrivas som kvoten av två polynom, där båda polynom har rationella tal som koefficienter. Till exempel då (x+1)/(x^2 + 1). Ett exempel på en rationell funktion, som dock inte har rationella koefficienter, är (x + pi)/(x^2 + 1). Detta kan därför definitionsmässigt aldrig vara en snäll funktion.

Hoppas detta klargör det hela lite.

på grund av att rationella tal och rationella funktioner är samma sak i kvantfysik, kolla här va...
alla si enheter har ett gemensam sak, och det är tid. (utan tid kan man inte ha ett mätbart förhållande till gravitation eller längd.. eller något?)
Tid är alltså en rationell funktion(?)
sen har vi gravitation vilket är ett rationellt tal(?) i vår atmosfär, tillsammans formar de
"rationell funktion med rationella koefficienter som kan skrivas som kvoten av två polynomer" < någon/några av de 4 krafterna är i "perfect"-vakum.
och "två polynomer som som inte har rationella koefficienter" ex. e genom f << atmosfär där alla krafter ingår samtidigt.

så om vi följer värmelagarna så får vi ut en riktning och en storlek?
typ matematiskt meteorologi, jag kan iofs blanda ihop vilket som är i atmosfär och vakum, orkar inte riktigt tänka så långt, men du kanske fattar vad jag menar