Algebra (naturliga tal, division, restvärde)

Vilket är det minsta naturliga tal, som vid division med 12
lämnar resten 3 och vid division med 5 lämnar resten 1?

51

Låt n vara ett tal som vid division med 12 lämnar resten 3 och vid division med 5 lämnar resten 1.
Då gäller n = 12 p + 3 för något heltal p och n = 5 q + 1 för något heltal q.
Därmed gäller följande samband mellan p och q: 12 p + 3 = 5 q + 1. Båda är ju lika med n.
Detta ger den diofantiska ekvationen 5 q - 12 p = 2.
Lösningarna till denna ges av p = -1 + 5 k, q = -2 + 12 k, där k är ett heltal.
Alltså blir n = 12 (-1 + 5 k) + 3 = 60 k - 9.
Det minsta naturliga sådant talet är n = 60 * 1 - 9 = 51.

Låt x vara det sökta talet. Då finns heltal n och m s.a.

x=12n+3
x=5m+1

12n+3=5m+1

5m-12n=2

m måste vara ett jämnt tal, så 5m blir en multipel av 10.

Då måste 12n sluta på 8 för att den sista ekvationen ska uppfyllas. Det minsta positiva n när det inträffar är 4.

x=12n+3=48+3=51

Det är förenligt med att division med 5 ger resten 1.

Trevligt med olika sätt att lösa uppgiften. Fyll gärna på med flera metoder.

En metod är att göra en tabell över tal på formen 12n+3

3
15
27
39
51

Kravet att talet ska ha rest 1 när det delas med 5 innebär att det måste sluta med 1 eller 6. Det första talet som gör det är 51, så det är det sökta talet.

Vi ska finna n så att

n ≡ 3 (mod 12)
n ≡ 1 (mod 5)

Den andra identiteten ger att n = 5m + 1. Sätt in detta i den första och få

5m + 1 ≡ 3 (mod 12) ⇔
5m ≡ 2 (mod 12)
Multiplicera båda leden med 5 och notera att 5² ≡ 1 (mod 12) så blir det
m ≡ 5*2 ≡ 10 (mod 12)

Alltså m = 12k + 10 vilket ger att n = 5m + 1 = 5(12k + 10) + 1 = 60k + 51.

Nu ger k = 0, att n = 51, vilket är det minsta positiva n som uppfyller båda ekvationerna.

En generell metod som blir användbar när man har fler ekvationer att handskas med beskrivs här. I det här fallet så blir det dock lättare att lösa problemet "för hand", som redan beskrivet i tråden.

Kommentar:
Det är (som OneDoesNotSimply gjorde) bättre att lista talen som är på formen 12n+3 än de som är på formen 5n+1, eftersom de förra är glesare och det därmed (i viss mening) blir färre tal att söka genom efter sådana som matchar det andra villkoret.