Analys B fråga

Hej behöver hjälp med att lösa denna uppgift

y'=((e^(-y))/(1+x^2), y(0)=1

dy/dx = exp(-y)/(1+x²), y(0) = 1

Multiplicera med exp(y) dx ger:

dy exp(y) = exp(y)exp(-y)/(1+x²) dx = dx/(1+x²)

Integrera bägge led ger:

§ dy exp(y) = § dx/(1+x²)
exp(y) = arctan(x) + C
y = ln(arctan(x) + C)

y(0) = 1 ger:
y(0) = ln(arctan(0)+C)=1. Men arctan(0) = 0 ger ln(C)=1 så C = e¹ = e, alltså:

y = ln(arctan(x)+e)

dy/dx = exp(-y)/(1+x^2) <=> exp(y) dy = 1/(1+x^2) dx
Integrera ledvis:
exp(y) = arctan(x) + C
Logaritmera bägge leden
y = ln(arctan(x) + C)
Med bivillkor y(0) = 1 får vi
ln(arctan(0)+C) = 1 => C = e.

Tackar!