Hjälp med linjär Algebra upg.

Hej!

Skulle verkligen uppskatta om man kunde få hjälp med följande uppgifter.

1. Ekvationen för en cirkel kan skrivas som:
x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

Bestäm ekv. för en cirkel genom punkterna (1,1) (8,2) och (2,-6)

2. Lös ekvationsystemet för alla värden på konstanten "k"

3x + 2y + z = 1
x + ky - 2z = 3
x + ky - 2z = -1

Tror att du har skrivit av uppgift 2 fel.

Yes! det hade man, sådär:

3x + 2y + z = 1
x + y + 5z = 3
x + ky - 2z = -1

1.
Jag väljer att utgå från att cirkeln kan skrivas som

[;
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = R^2
;]

där [; (x_0,y_0) ;] och är cirkelns medelpunkt respektive radie.

[;
\\
(1-x_0)^2 + (1-y_0)^2 = R^2\:\:\: (A)
\\
(8-x_0)^2 + (2-y_0)^2 = R^2\:\:\: (B)
\\
(2-x_0)^2 + (-6-y_0)^2 = R^2\:\:\: (C)
;]

(A)-(B) och (A)-(C) ger

[;
\\
1-2x_0 + 1 - 2y_0 - 64 + 16x_0 - 4 + 4y_0 = 0\:\:\: (A)-(B)
\\
1-2x_0 + 1 - 2y_0 -4 + 4x_0 - 36 -12y_0 = 0\:\:\: (A)-(C)
;]

Ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta.

[;
\begin{pmatrix}{14 & 2 \\ 2 & -14}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_0 \\ y_0}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{66 \\ 38}\end{pmatrix}
;]

som har lösningen

[;
\begin{pmatrix}{x_0 \\ y_0}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{5 \\ -2}\end{pmatrix}
;]

Cirkeln har alltså sitt centrum i punkten (5, -2)
Instoppning av [; x_0 ;] och [; y_0 ;] i någon av (A), (B) eller (C) ger att R = 5 (positiv radie).

Vi har nu

[;
\\
(x-5)^2 + (y+2)^2 = 25
\\
x^2 - 10x + 25 + y^2 + 4y + 4 = 25
\\
x^2 + y^2 - 10x + 4y + 4 = 0
;]

vilket är cirkelns ekvation på den sökta formen.

En kort variant av det snubben ovanför sa:

Du kan göra 3 ekvationer av de 3 x och y värdena som du fått. Därefter gör du ett ekvationssystem med de 3 ekvationerna för att lösa ut dina 3 okända (a, b, c) en i taget. När du fått ut dessa värden stoppar du in dem i cirkelns ekvation, och kanske skriver om det i standardform för cirkeln.

Perfekt!

Båda svaren tillsammans gjorde att jag fattar betydligt bättre hur man ska gå tillväga,
tack båda två!