Svår matteuppgift -Trigonometri

Satt med den här uppgiften i en och en halv timme utan att komma någonvart. Väldigt enkel mattebok förutom det här lilla undantaget. Uppgiften är som följer:

I en rätvinklig triangel vars kateter är 3 cm och 4 cm är en kvadrat inskriven med en sida utefter hypotenusan, som figuren till höger visar. Beräkna kvadratens sida
Och medhörande bild här

Det bygger på att trianglarna som bildas är likformiga, ge mig en minut ska jag skriva min uträkning.

Bild på lösning
Hoppas du kan se vad jag gjort!
Får ut att kvadratens sida (s) är 1.622

Kan också beräknas utan trigonometri,
genom att summan av ytorna för de
tre små trianglarna och kvadraten är
lika med ytan av hela triangeln.
Kanske inte enklare, men att annat sätt.
Ger en andragradsekvation.

mvh/Bo S

Min lösning baserar sig på likformighet (tangens om man vill koppla det till trigonometri) samt att man uttrycket längden av hypotenusan på två olika sätt.

Låt s vara kvadratens sida. Kvadraten delar hypotenusan i 3 delar, låt x beteckna längden av nedersta delen och y längden av den översta delen.

Man kan lätt visa att alla deltrianglar är likformiga med den stora triangeln. Av detta följer att

x/s=3/4 => x=3s/4

s/y=3/4 => y=4s/3

Hypotenusans längd är enligt Pythagoras sats 5 cm. Det ger ekvationen

5=x+s+y

5=3s/4+s+4s/3=s*(3/4+1+4/3)=s*(9+12+16)/12=s*37/12

s=5*12/37=60/37=1.62 cm

Tyckte faktiskt att din lösning var enklast att följa, tack så mycket!

Kul att kunna hjälpa till!
Antar att tråden kan låsas nu