lim n->∞ ∫(n*ln(1+x/n)dx) från 0 till 1

lim n->∞ ∫(n*ln(1+x/n)dx) från 0 till 1

Hur bör man räkna ut detta? Är det så att logaritmfunktionen går mot noll långsammare än vad n går mot oändligheten, och gränsvärdet blir då oändligheten?

lim n->∞ ∫(n*ln(1+x/n)dx) från 0 till 1 =
lim n->∞ ∫(n*(x/n-x^2/2n^2 + x^3/3n^3 ...)dx) från 0 till 1
lim n->∞ ∫(x-x^2/2n + x^3/3n^2 ...)dx från 0 till 1
∫ x dx från 0 till 1 =
1/2

kanske?

Edit: Kruxet var alltså att taylorexpandera ln(1+x/n). Eftersom alla termer av hög ordning försvinner när n->oo blir det exakt.

Aha, smart!

n ln(1+x/n) = ln ((1+x/n)^n) → ln (e^x) = x
Konvergensen är likformig (visa detta!).
Därmed gäller att gränsvärdet av integralen är lika med integralen av gränsvärdet:
lim n→∞ ∫ n ln(1+x/n) dx = ∫ lim n→∞ n ln(1+x/n) dx = ∫ x dx = 1/2