Citat:
Ursprungligen postat av
DO3
Hej en uppgift från en övningstenta där jag inte förstod om det var fel formulerat alternativt fel löst, B) frågan jag undrar över.
Marken är täckt av ett 15 cm tjockt snötäcke. Vädret blir mildare och det börjar
samtidigt att snöa. Snön faller med en intensitet som motsvarar en förändring av
snötäckets tjocklek med 5 cm/timme. Samtidigt minskar snötäcket genom smältning
med en hastighet som är proportionell mot snötjockleken och med
proportionalitetskonstanten 1/5. Efter 4 timmar upphör snöfallet.
(a) Hur tjockt är snötäcket då snöfallet upphör?
(b) Hur lång tid efter det att snöfallet har upphört är snötäcket
hälften så tjockt som när snöfallet upphörde om smältningen sker med
samma hastighet som under snöfallet?
Lösningen:
y′(t) = -1/5y(t) <=> y(t) = y(0)e^(-t/5)
Halveringstiden av snötjockleken ges av
y(t) = y(0)/2 <=> y(0)* e^(-t/5) = y(0)/2 <=> e^(-t/5)=1/2
<=> -t/5 = ln(1/2) <=> t= 5 ln 2 timmar.
Vad hände med minus tecknet (-5) i svaret, samt det jag verkligen inte förstår är varför man inte tagit med det pålagda nedfallet av snö 4 timmar in dvs y(4)=ca 20.5 cm, sedan efter det skulle man ju beräkna hur lång tid krävdes för att halvera det, men lösningen halverar bara y(0)=15cm, eller hur??
I din differentialekvation har du glömt den term som motsvarar ökningen av snödjupet när det snöar. Mellan tiden t=0 och t=2 timmar gäller sambandet:
[; y'(t) = -1/5 \cdot y(t) + 5 ;]
