Projektiva avbildningar av RP^2 på RP^2

Sitter och tampas med en uppgift som jag begriper men inte vet hur jag löser varken algebraiskt eller om man kan rita upp det.

Uppgifter lyder så här:


Detta är vad jag kommit fram till (förhoppningsvis fel, men rätta mig då):

• Eftersom varken avbildningen eller punkterna ligger längs en linje så kan jag inte använda mig av dubbelförhållande
• Har försökt bygga en transformationsmatris men lyckas inte med det, förstår inte varför det inte går men ekvationerna blir olösliga. (X' = H * X)

Har fått en liten ledtråd som nämner att:

Några tips eller eventuella sätt att lösa problemet?

Punkterna
A = (-1, 1)
B = oändlighetspunkt för linjer parallella med y-axeln
C = (1, -1)
D = (0, 1)
avbildas på
A' = oändlighetspunkt för linjer parallella med y-axeln
B' = (0, 0)
C' = (-1, 0)
D' = (1, -1)

Linjen AC och linjen BD skär varandra i origo O = (0, 0).
Avbildningen O' av O ligger därför i skärningen mellan linjen A'C' och linjen B'D'.
Jag får fram O' = (-1, 1).

Linjen AD och linjen BC skär varandra i punkten Q = (1, 1).
Punkten Q = (1, 1) avbildas därför på Q' som ligger i skärningen mellan linjen A'D' och linjen B'C'.
Jag får fram Q' = (1, 0).

Eftersom P ligger på linjen OQ måste nu P' ligga på linjen O'Q'.

Därefter kommer jag inte längre. (Har dock inte mycket kunskap om projektiva avbildningar.)

Oops... Upptäckte nu att den sökta punkten inte var (-3, -3) som jag hade fått för mig utan (-3, 3). Därmed är mitt tidigare inlägg inte relevant.

Ovanstående är fortfarande relevant. Nu ligger A, O, C och P på samma linje, varför även avbildningarna A', O', C' och P' ligger på samma linje. Då ska du tydligen kunna bestämma P'.

Ursäkta sena svaret. Men du har rätt där ja!

I och med att P: (-3,3) ligger på samma linje som A, O och C så kan man bygga upp dubbelförhållandet. Detta för att riktiga linjen = projecerade linjen, så vi får (C O A P) = (C' O' A' P')

Så här räknade jag ut det:


Def: Låt A, B, C och D vara fyra punkter på en euklidisk linje kompletterad med den ideala punkten. Minst tre av punkterna skall vara olika. Dubbelförhållandet (A B C D) av A, B, C och D är

(~AC/~BC) / (~AD/~BD)

Där (~AC/~BC) är förhållandet med tecken mellan avstånden A-C och B-C. Om någon av punkterna är den ideala punkten definieras kvoten mellan två avstånd där ideala punktern ingår som 1.

Sats: Låt A, B, C och D vara fyra euklidiska punktern på en rät linje "l" och låt P vara en perspektivavbildning som avbildar "l" på linjen "m", då är:

(A B C D) = (P(A) P(B) P(C) P(D))

Där exempelvis "P(A)" är avbildningen av punkten A

I ett dubbelförhållande kan jag räkna antingen med ena eller andra koordinaten. Ty någon längdenhet existerar inte, bara ett förhållande.
En smart grej att göra vore ju att bara räkna på y-koordinaten i och med att linjen är parallell med y-axeln= samma x-koordinat för alla punkter.

Men när jag kontrollerade för att se om jag fick samma x-koordinat försvann kvoten och därmed variabeln. Fick ett konstigt svar! Linjen är ju inte rät heller, så hur ska jag i så fall räkna ut det?

Uträkning av x-koordinaten (test):
C = [1;-1]
O = [0;0]
A = [-1;1]
P = [-3;3]

C'=[-1;0]
O=[-1;1]
A'=[0;1] {IDEAL PUNKT - Rikt. Y-axel}
P'= [x;y]

(C A O P) = (C' O' A' P') <=>
(~CA/~OA)/(~CP/~OP) = (~C'A'/~O'A)/(~C'P'/~O'P') <=>
(4/6) = (-1-x/(-1-x)) <=> 4/6 = 1, fel, ant. pga att det inte är en rät linje

Vilka punkter menar du inte ligger på en rät linje?
C', O' och A' ligger på en rät linje. A' är oändlighetspunkt på linjen genom C' och O'.

Inget, fick ett litet hjärnsläpp bara.

En annan fråga med.
Säg att två punkter A och C:

A:[1;0;1]
C:[-1;0;1]

Hade blivit:

A':[1;1;0]
C':[-1;1;0]

Linjen ~AC är trivial, en linje parallell med x-axeln. Men om man hade försökt visualisera linjen ~A'C' geometriskt. Hur hade det sett ut då?
Båda är ju ideala punkter som beskrivs med linjer. En med ekvationen y=x och den andra med ekvationen y=-x

Någon idé?

Är du i R^3 och snurrar nu, eller är det projektiva koordinater, dvs t.ex. [1;0;1] = [2;0;2] ?

Vet inte om jag blandar ihop saker, men ska se om jag kan få feedback av en lärare. Tack för hjälpen i alla fall!!