Problem med andragradsekvationer (Rep. inför Ma3b)

Hej!

Jag ska precis börja läsa Matematik 3b och vi ska ha lite repetition innan på tidigare kurser. Nu är det några tal jag har kört fast rejält på. Hoppas på hjälp här! Jag vore mer än tacksam..

Lös andragradsekvationerna x2 då

a) x = -3 + 3i
b) x = 1 + i
c) 4 - 5i

Tack på förhand!

Vänliga hälsningar,
bec90

Det saknas information. Ekvationerna a) och b) är redan lösta och c) är inte ens en likhet. Menar du att du vill få ett uttryck för x^2?

Ja, x^2 ska det givetvis stå, ber om ursäkt för det. Jag har skrivit av precis allt som stod i uppgiften.

http://imagizer.imageshack.us/v2/800x600q90/32/s2jd.jpg

Där är en bild på uppgiften. Ser också att jag har skrivit fel i första inlägget. Det ska stå så här: c) x = 4-5i

a)

[; x_1 = -3+3i ;]

Hur ser en andragradsekvation ut som har en rot på formen a + bi?

[; x^2 + 10 \Leftrightarrow = \pm\sqrt{-10} = \pm i\sqrt{10} ;]

En andragradsekvation på formen
[; x^2 + c = 0;]
har alltså lösningen
[; x = \pm i\sqrt{c} ;]
då c är ett negativt tal.

[;
x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 -q}
;]

[; -\frac{p}{2} = -3 \Leftrightarrow p = 6 ;]

[; \sqrt{(\frac{6}{2})^2-q} = \sqrt{-9} \Leftrightarrow \frac{36}{4} -q = -9 \Leftrightarrow q = 18;]

Andragradsekvationen med ena roten x = -3 + 3i ser alltså ut såhär:

[; x^2 + 6x + 18 = 0 ;]

Det är bara en gissning från min sida, men jag tror att uppgiften hänvisar till någon ekvation (eller några ekvationer) som presenterats tidigare (eller presenteras senare). Det kan till och med vara så att ekvationen/-erna är gemensam för flera uppgifter.

Dåligt formulerad uppgift
De måste väl mena lös x^2 = 0,
givet x = -3i + 3.
Dessa lösningar ges ju av komplexkonjugatet, finns något teorem som säger att polynom med reella koefficienter har lösningar i komplexkonjugerande par. Tror man inte på detta så får kan man använda sig polynomdivision.

Skulle man bara lista ekvationer som har dessa lösningar skulle man ju bara kunna ta
x(x-3+3i) = 0, en rot i noll och en i den givna.

b)

[; x_1 = 1 + i ;]

Här kan man nästan direkt se att andragradsekvationen ska vara x^2 + 2x + 2 = 0.

[; \frac{p}{2} = 1 \Leftrightarrow p = 2 ;]
[; \sqrt{1 - q} = \sqrt{-1} = i \Leftrightarrow q = 2 ;]

[; x^2 + 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -1 \pm \sqrt{-1} = -1 \pm i ;]

Fast det är -2x inte 2x, den ekvationen har lösningarna -1 \pm i (såg sen att det var detta du ville komma fram till, dock var det x = 1 \pm i som frågades för).
För få de ekvattioneran så räcker det med att ta roten multiplicerat med dess komplexkonjugat,
(x-1-i)*(x-1+i) = x^2 + x(-1+i)+x(-1-i) + (-1-i)(-1+i) = x^2 -2x -1-1 = x^2 - 2x + 2

Sant, fel av mig.


Också sant. Den visste jag inte om. Eller så antar man, som du sa tidigare, att ena roten är noll för att göra det enklare för sig. Beror väl lite på vad uppgiften går ut på.