__________________
Senast redigerad av Rulao 2014-01-15 kl. 00:20.
Senast redigerad av Rulao 2014-01-15 kl. 00:20.
Citat:
Som du säger är integralen generaliserad dels genom ett obegränsat integreringsområde och dels genom att integranden är obegränsad i omgivningar till 0.
Dela därför upp integralen i två, där den ena går från 0 till 1 och den andra från 1 till inf. Du kan uppskatta 0 < ln(x)/sqrt(x⁴ + 1) < ln(x)/sqrt(x⁴) = ln(x)/x² för x > 1. Integrera denna funktion över 1 till inf genom partialintegration så ser du att den konvergerar.
För den andra delen: ln(x)/(sqrt(x⁴ + 1)) < 0 för 0 < x < 1 så här vill vi hitta en funktion som är mindre (alltså större till belopp). Här kan vi helt enkelt använda 0 > ln(x)/sqrt(x⁴ + 1) > ln(x) för 0 < x < 1. Integrera därför ln(x) över 0 till 1 m.h.a partialintegration så ser du att även denna integral är konvergent. Alltså är hela grejen konvergent.
Lite intuition kring hur jag resonerar mig fram till vilka uppskattningar som kan tänkas vara bra: för stora x är x⁴/(1 + x⁴) ≈ 1 så när vi tittar på den obegränsade integralen verkar detta som en vettig uppskattning. För små x är (1 + x⁴) ≈ 1 så därför är detta en lämplig uppskattning i det andra fallet.
EDIT: Angående val av hur men delar upp integralen så kan man göra på lite olika sätt. Det sättet jag gjorde på är praktiskt för att då har integranden konstant tecken på de olika intervallen varför man kan använda dom jämförelsekriterium som går ut på att stänga in integralen mellan 0 och en annan integral som vi kan beräkna.
Dela därför upp integralen i två, där den ena går från 0 till 1 och den andra från 1 till inf. Du kan uppskatta 0 < ln(x)/sqrt(x⁴ + 1) < ln(x)/sqrt(x⁴) = ln(x)/x² för x > 1. Integrera denna funktion över 1 till inf genom partialintegration så ser du att den konvergerar.
För den andra delen: ln(x)/(sqrt(x⁴ + 1)) < 0 för 0 < x < 1 så här vill vi hitta en funktion som är mindre (alltså större till belopp). Här kan vi helt enkelt använda 0 > ln(x)/sqrt(x⁴ + 1) > ln(x) för 0 < x < 1. Integrera därför ln(x) över 0 till 1 m.h.a partialintegration så ser du att även denna integral är konvergent. Alltså är hela grejen konvergent.
Lite intuition kring hur jag resonerar mig fram till vilka uppskattningar som kan tänkas vara bra: för stora x är x⁴/(1 + x⁴) ≈ 1 så när vi tittar på den obegränsade integralen verkar detta som en vettig uppskattning. För små x är (1 + x⁴) ≈ 1 så därför är detta en lämplig uppskattning i det andra fallet.
EDIT: Angående val av hur men delar upp integralen så kan man göra på lite olika sätt. Det sättet jag gjorde på är praktiskt för att då har integranden konstant tecken på de olika intervallen varför man kan använda dom jämförelsekriterium som går ut på att stänga in integralen mellan 0 och en annan integral som vi kan beräkna.
Nu är jag med, väldigt bra förklarat! Tack för hjälpen
!
Stöd Flashback
Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!
Swish: 123 536 99 96 Bankgiro: 211-4106
