Hur bevisar man tillväxt med hjälp av medelvärdessatsen om derivatan är positiv?

Om derivatan för en funktion är större än 0, innebär då inte det per definition att funktionen är strängt växande?
Vad finns det då att bevisa?
Hur ska man bevisa en sån sak med medelvärdessatsen?

Nej.

Definitionen av att derivatan av funktionen f är större än noll:
lim_{h→0} (f(x+h) - f(x))/h > 0

Definitionen av att f är strängt växande:
f(x) < f(y) om x < y



Medelvärdessatsen (med flera premisser utelämnade):
Det finns ett tal ξ mellan x och y så att f(y) - f(x) = f'(ξ) (y - x).

Givet att f'(t) > 0 för alla t mellan x och y gäller därmed att även f'(ξ) > 0 så
om y - x > 0 gäller att även f(y) - f(x) = f'(ξ) (y - x) > 0, dvs om x < y gäller f(x) < f(y).

Kan inte de visas innebära samma sak?

Det är det man gör i uppgiften (åtminstone visa det i ena riktningen).

Inte "samma sak"!
f kan vara strängt växande trots att f´(x) = 0 i enstaka punkter.
Standardexempel: f(x) = x^3.