Tangenten till en kurva (differentialkalkyl)

Jag har lite problem med en uppgift som ser ut så här:

"Beräkna tangentlinjen till kurvan genom punkten (x,y) = (0, [2π]/3) i funktionen:

sin(x)/(e^y) + y·cos(y) = -π/3"

Hur ska man lösa en sån här uppgift, egentligen?
Jag har för mig att man ska lösa ut derivatan för y, men det verkar leda till väldigt krångliga uträkningar.

Nu ligger jag i och för sig i soffan, lagom full, men det är väl bara att köra på med implicit derivering? Därefter samla alla termer som innehåller y' i ett led och bryta ut.

f(x, y) = sin(x) e^(-y) + y cos(y) = -π/3

∂f/∂x = cos(x)
∂f/∂y = -sin(x) e^(-y) + cos(y) - y sin(y)

Längs en lösningskurva till f(x, y) = konstant gäller
0 = df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy = cos(x) dx + (-sin(x) e^(-y) + cos(y) - y sin(y)) dy

I (x, y) = (0, 2π/3) ger detta
0 = cos(0) dx + (-sin(0) e^(-2π/3) + cos(2π/3) - (2π/3) sin(2π/3)) dy
= dx + (0 + (-1/2) - (2π/3) (√3)/2) dy = dx + (π/√3 - 1/2) dy

Riktningskoefficienten för tangenten blir alltså
k = dy/dx = 1/(1/2 - π/√3)

Tangenten kan därmed skrivas
y = k(x - x0) + y0 = x/(1/2 - π/√3) + 2π/3

Tackar, men vad har jag i så fall gjort för fel i den här uträkningen?

Uträkningen

Jag verkar nämligen få ett helt annat svar.

Hmm, tänk såhär istället; (Ladda ner Greasemonkey scriptet för LaTeX så ser du vad jag skriver nedan)

Tangentlinjen till till en kurva genom en godtycklig punkt måste vara ortogonal mot den punktens normal, m.a.o.

Låt gradienten vara
[;\nabla f = \left(\partial_x f,\partial_y f\right),\qquad \forall \left(x,y\right) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}.;]

Där vi antagit att [;f;] är av klass [;\mathcal{C}^1;].

Tänk nu att en linjen [;l;], som tangerar kurvan, är på formen
[;
l:\; 0 = Ax + By + C,\qquad A,B,C \in \mathbb{R},
;]

[; \Leftrightarrow ;]


då har den en normalvektor, som är parallell med gradienten,

[;n = \left(A,B\right) ;].

Detta leder till ett enkelt ekvationssystem

[;\lambda n = \nabla f,\qquad \forall \lambda\in\mathbb{R};]

som tillsammans med ekvationen för [;l;] löser ut [;A,B,C;].

Du har tappat en derivata!

d/dx (y cos(y)) = y´*cos(y) + y*y´(-sin(y))

Faktorn y´= dy/dx i sista termen saknas i din beräkning.

Det blir väl
0 = ... = dx - (1/2 + π/√3) dy,
dvs k = dy/dx = 1/(1/2 +π/√3) ?

Jag får ett liknande svar när jag deriverar implicit:

k = e^(-2π/3) / (1/2 +π/√3)

Får alltså en faktor e^(-2π/3) i täljaren. Det verkar gå snett någonstans?

Ja, det ser ut som jag har gjort teckenfel.



Det är svårt att veta var/när du gör fel utan att se dina beräkningar.

WolframAlphas beräkning av y´(x) överensstämmer med min beräkning:
http://www.wolframalpha.com/input/?i...%20)&t=crmtb01

Hehe ja, det har du tamigsjutton rätt i.
Det är förvirrande med alla derivator överallt ibland.

skall vara ∂f/∂x = cos(x) e^(-y).

Detta ger förstås följder och påverkar slutresultatet.