Jag blir inte klok på derivata

Hej Flashback! Jag försöker att förstå derivata men det går inget vidare, jag vet hur man gör men inte varför, ska försöka ge ett exempel:

Här är ett tal ur min mattebok

y=2x^2 + 8x är en andragradsekvation, bestäm ekvationen för tangenten till funktionens extrempunkt.

Min första tanke var att jag ska derivera men efter att ha kollat lösningshäftet så har de faktoriserat och fått ut: 2x(x + 4). Hur vet jag att jag inte behöver derivera?

y(x) = 2x² + 8x = 2(x² + 4x) = 2((x + 2)² -2²) = 2((x + 2)² - 4) = 2(x + 2)² - 8

Extrempunkt i x = -2 där f'(-2) = 0 (varför?) vilket ger k = 0. Vidare gäller y(-2) = -8 vilket ses lätt från kvadratkompletteringen och därmed blir tangenten helt enkelt y = -8.

Går såklart att derivera också, funktionen har en extrempunkt där y'(x) = 0 så vi får y'(x) = 4x + 8 = 0 så x = -2 och efter beräkningar följer samma resultat som ovan.

Tack för snabbt svar, man har alltså valt att inte derivera för det är ett såpass smidigt tal? eller fattar jag fel

Otrolig valde att inte derivera. Hur man gjorde för facit framgår inte. Svaret blir detsamma oavsett lösningssätt (så länge man gör rätt förstås).

Dom har plockat fram nollställena (0 och -4) och då får du symmetrilinjen i -2. Resten fixar du nog.

Varför vill man ha symmetrilinjen då?

På en andragradskurva ligger extrempunkter där symmetrilinjen skär kurvan. Det är inte säkert att du snappat upp detta, men det har troligen nämnts i en tidigare kurs.

Jag skulle derivera direkt. Det är enkelt att se att nollstället för 4x + 8 är -2, dvs funktionen har sin extrempunkt där.

Okej, men då får jag ytterligare en fråga. Om jag nu kan lösa den här utan att derivera, vad har jag då för nytta av derivatan?

Andragradsekvationer är symmetriska, och symmetrilinjen är alltid på samma x-koordinat som extremvärdet. Du kan räkna ut symmetrilinjens position genom att ta medelvärdet av nollställena.

Du har alltså två sätt att hitta extrempunkter för andragradare.

1) Hitta nollställena och räkna ut medelvärdet av dem, och där hittar du symmetrilinjen, där även extremvärdet finns. (Alternativt, räkna ut "-p/2" i PQ-formeln, som ger samma svar)

2) Sätt funktionens derivata = 0, och lös ut x. Det x du får är x-koordinaten för symmetrilinjen.


När du väl har ett x-värde där symmetrilinjen finns, stoppar du in denna i "f(x)" så att du får ett y-värde också. Nu är extremvärdets koordinater (x,y).

Så när du hittar extremvärden för andragradare får du planera lite. Vad kommer att bli enklast? Metod 1 eller 2? Säg att funktionen är given på formen x^2 + px + q, där varken p eller q är noll; då är metod 2 enklast, eftersom PQ-formel är mer komplicerat än att lösa f'(x)=0.
Om q är noll så är metod 1 enklast, eftersom du hittar nollställena snabbt med nollproduktmetoden, vilket man kunde göra med din uppgift.

OBS! Du har bara dessa två alternativ med andragradare. Andra potensfunktioner är inte symmetriska på samma sätt. Tredjegradare till exempel har inte sin symmetrilinje på extrempunkterna, och fjärdegradare har 3 extrempunkter men bara 1 symmetrilinje. Så derivata är ett betydligt bättre verktyg för ändamålet!

Tackar! Då tror jag att jag förstår Vill även tacka alla andra som hjälpt till, det uppskattas verkligen.

En mycket bra redogörelse av pepelu. Jag har märkligt nog aldrig hört talas om symmetrilinjen tidigre.
Till Sissygirl som frågade. Jag tycker det är enklast att derivera,alltid. Där är nyttan enligt mig.