Kan man säga att gränsvärdet för sin(a·x)/x = a?

Jag vet att sin(x)/x → 1 då x → 0, men jag har märkt att samma sak verkar gälla även för a·x, det vill säga att sin(a·x)/x → a då x → 0 om x∈ℝ.
Är detta korrekt?

Verkligen inte, a*sin(x)/x hade

Jaså? Vad blir då lim_x->0 sin(ax)/x?

Min logik var väl ungefär att om sin(x)/x går mot 1 så känns det som om sin(a*x)/x borde vara "a gånger större", och därför gå mot 1*a.
Men å andra sidan så bör ju a*x också gå mot 0 om x gör det.

Både a sin(x)/x och sin(ax)/x har gränsvärdet a när x går mot noll.

Både sin(ax) och x går mot noll när x går mot noll. Därför kan vi använda L'Hospitals (ja, övriga nödvändiga villkor är uppfyllda) regel och ta gränsvärdet av derivatan av täljaren genom derivatan av nämnaren, vilken blir lim_x->0 a*cos(ax)/1 = lim_x->0 a*cos(ax) = a*1 = a.

Du får dock underkänt för ditt resonemang.



zaiman får ta på sig skämsstruten.

Jag ser det så här, vi vet lim x->0 sin(x)/x = 1
sin(ax)/x = a*sin(ax)/(ax) = [ax = u] a*sin(u)/u och detta gränsvärdet känner vi ju (givet a=/= 0)

L'Hôpital, du får underkänt i franska.

sin(ax)/x = { förläng med a } = a sin(ax)/(ax) = { Sätt t = ax } = a sin(t)/t
= { t = ax → 0 då x → 0, och sin(t)/t → 1 då t → 0 } = a * 1 = a.

Haha, jo. Har dock aldrig studerat franska det allra minsta.

L'Hospital levde innan circumflex introducerats i franskan. Därför är den rekommenderade svavningen (på svenska i alla fall) l'Hospital.

http://4.bp.blogspot.com/-L1nnPuxXmU...ementPetit.jpg

Du bör notera att tex. sin(2x) ≠ 2 sin(x). Jag vet ju inte vilken din bakgrund är men du kan ju själv testa genom att slå in, i miniräknaren eller tex. excel, olika värden som du tar sinus på och se vad det blir. Då ser du att sinus för dubbla vinkeln aldrig blir dubbla värdet. Och slår du upp en mattebok eller formelsamling så ser du att sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).

Din fråga var dock intressant. Jag tänkte redan svara som zaiman, men började istället bläddra i böcker. Jag håller som bäst på och repeterar lite matte för intressets skull. Men jag har ännu inte kommit till l'Hopitals sats som jag ser användes för att visa på att ditt antagande var rätt, om än på fel grund. Jag körde själv "apmetoden" (prövade med olika värden) i excel för att se att det verkligen stämde.

Edit. Och där har manne, och stork.., enkelt visat det utan vare sig hopitals eller hospitals satser.