Flervariabelanalys: Bestäm största och minsta värde.

Problem:
Bestäm största och minsta värdet för funktionen

f(x,y) = 2x-y+x^2+y^2

då x^2+y^2 ≤ 4


Lösning:

Jag får problem när det är en cirkel som ska undersökas. Mycket lättare med kvadrater eller andra figurer där man kan undersöka hörnpunkterna.

Efter partiell derivata får jag att

x=-1
y=1/2

Ge mig gärna tips eller en lösning så jag kan se hur det ska utföras.

Om du är vid en godtycklig punkt i den tillåtna ytan kan du alltid öka värdet genom att öka x tills du når cirkelns omkrets. Därför måste maximat ligga på cirkelns kant, där x^2+y^2 = 4. Då gäller:

f(x,y) = 2x-y+x^2+y^2 =
2x-y+4 =
2x - sqrt( 4 - x^2 ) + 4

derivera och maximera.

Vad det gäller den andra punkten ligger den inte på kanten, då f kan vara negativ (exempelvis för vissa y och x=0) men f alltid är ickenegativ på kanten. Därför måste man derivera och minimera på det sätt jag antar att du gjort ovan.

Använd lagrange metod.

Intressant hur man med lite analys av funktionen innan man börjar kan underlätta beräkningarna.

Jag, utan att göra en närmare analys, satte igång direkt att på sedvanligt vis:
x= 2cost
y= 2sint

Fick då g(t)=2(2cost)-2sint+(2cost)^2+(2sint)^2
= 2(cost-sint)+8

Nu slipper jag räkna vidare på det och kan konstatera m.h.a din metod:

f(x,y) = 2x-y+x^2+y^2 =
2x-y+4 =
2x - sqrt( 4 - x^2 ) + 4

Deriverar och sätter derivatan lika med 0

2 + x/(sqrt(4-x^2))=0

Då får jag att x=-4/sqrt(5)

Men när jag undersöker grafen är max-värdet på positiva delen av x-axel.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%2Cy%29%3D2x-y%2Bx^2%2By^2

Minimum verkar dock ligga i punkten x=-1 och y=1/2


Då jag inte använt Lagrange-metoden tidigare så tänkte jag lösa även detta tal på alternativt sätt. Ska självklart kolla upp den inom snar framtid.

Ursäkta, testa att tillåta den negativa lösningen av sqrt.

2 - x/(sqrt(4-x^2))=0

Aha, det missade jag!

Då stämmer det genast mycket bättre.

Stämmer det att jag inte behöver undersöka hela randen, alltså parametrisera med 2cost, 2sint? Eller ska man se det som att största värdet är när x är som störst? Tror jag har dribblat bort mig själv för ju mer jag tänker desto mer förvirrande blir det!

Vet inte riktigt hur jag ska gå vidare. Jag får ju fram att x=4/sqrt(5) men verkar inte få fram rätt y-värde.

Undersöka randen med sin och cos går bra, men brukar vara lite knepigt att göra alla beräkningar och hålla tungan rätt i mun då, särskilt utan miniräknare som jag gör det.

Min metod undersöker också hela randen (om man hanterar sina tecken rätt, vilket jag inte gjorde först) men istället för att parametrisera till sin och cos parametriserar jag y till att vara en funktion av x, vilket gör att jag bara behöver spika en variabel.

Det låter vettigt!
Slipper man blanda in massa trigonometri så gör det inget för mig.

Jag har kommit fram till en lösning som jag hoppas är tillräcklig:

Jag skriver rätt kortfattat så men tror att det går att följa med ändå.


Löser för y:

x^2+y^2=4

y=±sqrt(4-y^2)

Sätter in det i ekvationen och deriverar

f(y)=2*±sqrt(4-y^2)-y+4=
f´(y)=±(2 y)/sqrt(4-y^2)-1

Sätter det lika med 0

y= -(2/sqrt(5))
y= (2/sqrt(5))


Nu har jag tre kandidater:

Punkt I (-1, 1/2)
Punkt II (4/sqrt(5)), (-2/sqrt(5))
Punkt III (-4/sqrt(5)), (2/sqrt(5))


Om jag sätter in punkterna i den ursprungliga ekvationen får jag:

Punkt I = -5/4 =-1.25
Punkt II = 2(2+sqrt(5)) ≈ 8.47
Punkt III = 4-2*sqrt(5) ≈-0.47

Punkt I = minimum
Punkt II = maximum

Är det tillräckligt som lösning på uppgiften?