Ställ era kluriga mattefrågor

1. En person som har 400 kronor i förmögenhet 2013, och sedan 2014 har 800 kronor, kan sägas ha fördubblat sin förmögenhet år 2014. Om en person har 0 kronor i förmögenhet 2013, och sedan 2014 har 400 kronor i förmögenhet, hur mycket har då hans förmögenhet ökat år 2014?

2. Vi läser av 10 grader c på en termometer på förmiddagen, och 20 grader c på eftermiddagen. Hur många procent har då temperaturen ökat? Appe-, vill du svara på frågan?

Det var väl kluriga frågor?

Enkelt. Vi vill se vilken pizza som har störst värde på Area/kr.

För små pizzor; Radie r, kostar x kr. Dvs Area blir då pi*r^2. Area/kr = (pi*r^2)/x.

För stora pizzor; Radie 1.3*r, kostar 1,5*x. Dvs Arean blir då pi*(1.3r)^2. Så blir alltså Area/kr = (pi*(1.3r)^2)/(1.5*x) = ((1.3)^2/1.5) * (pi*r^2)/x. Eftersom 1.3^2/1.5 =1.69/1.5 > 1 så får de stora pizzorna större värde på Area/kr och därför är de stora pizzorna bäst att köpa.

Seså ge mig min medalj nu

Har detta nu;

Visa genom att utgå från derivatans definition att funktionen f(x)=x*g(x) har derivatan f´(x)=x*g`(x)+g´(x).


Om du löser den bit på denna;

Bestäm numeriskt ett närmevärde med 3 korrekta decimaler till gränsvärdet lim (h-->0) 7^h-1/h.

Lycka till.

(obs har gjort dem så vet svaret)

((x+h)*g(x+h) - x*g(x))/h = (x*g(x+h)+h*g(x+h) - x*g(x))/h = g(x+h) + x*(g(x+h)-g(x))/h [andra termen följer av derivatans definition] = g(x) + x*g'(x), om lim h -> 0. Du har alltså skrivit fel, f'(x) = x*g'(x) + g(x).

Jag misstänker att du har skrivit något fel på den andra eftersom gränsvärdet inte existerar. När h går mot 0 går 1/h mot ± ∞ och 7^h går mot 1. Därmed går gränsvärdet mot ± ∞ beroende på vilket håll man går från.

Båda är skrivna korrekt.

Väldigt diskret användarnamn förövrigt


Edit: jaha märkte att jag lade till ett extra prim på g(x)...

Du glömde omsluta täljaren med parentes, alltså menade du lim h->0 (7^h-1)/h. Med L'Hôpitals erhålls:
[lim h->0] (7^h-1)/h = [lim h->0] d/dh(7^h-1)/(dh/dh) = [lim h->0] ln(7)*7^h = ln(7).
Om man tycker ovanstående är fusk kan man även göra på följande sätt:
Sätt 7^h-1 = t => 7^h = t+1. ln om bägge leden ger ln(7^h) = ln(t+1) <=> hln(7) = ln(t+1) => h = ln(t+1)/ln(7). Bestämmer vi nu lim h->0 för t/h fås:
t/h = t/(ln(t+1)/ln(7)) = ln(7)t/ln(t+1) = ln(7) * t/ln(1+t)
Notera att när h går mot 0 går även t mot 0. lim t->0 t/ln(1+t) = 1 är ett standardgränsvärde, så kvar får vi ln(7). Nedan följer ett enkelt bevis för det gränsvärdet.
lim x-> 0 x/ln(x+1) = lim y -> ∞ (1/y)/ln(1/y+1) = lim y-> ∞ 1/(yln(1/y+1)) = lim y-> ∞ 1/ln((1+1/y)^y) = [definitionen av e] = 1/ln(e) = 1.

Fel, svaret är, när h-->0 blir värdet 1.946(avrundat) . Men meningen var inte att du skulle lösa det utan TS, som tydligen kan alla mattetal

Och nej, behövs ingen parantes öht i denna ekvation...

Ja ln(7) ≈ 1.946. Jag valde att svara exakt då jag antar att det kluriga inte ligger i att avrunda...
Det är ingen ekvation utan ett gränsvärde. Jo det behövs parenteser, för du menar (7^h-1)/h och inte 7^h - 1/h som du skrev.

Ännu lite snabbare, efter att man har insett att han förstås skrivit fel, är att inse att man söker derivatan av 7^x i x=0, vilket är 7^0*ln(7)=ln(7)

Har inte skrivit fel, har kopierat dem rakt av. Det enda jag råkade göra var att lägga till ett extra prim i första talet...

Tydligen inte då det står så i häftet....

En sak till, vad får du d/dh ifrån? Använder du grafräknare? Tror nämligen inte det är meningen att använda en grafräknare här..

Jo, enligt rådande syntax går division före subtraktion, varför 7^h-1/h=(7^h)-(1/h). Det är en helt annan sak när man skriver på flera rader, eftersom det blir tydligt var bråkstrecket går.
d/dh är deriveringsoperatorn med avseende på h, det behövs verkligen ingen grafräknare för att kunna använda den.