Kvoten mellan två komplexa tal Z & X är reellt om Re{Z}/Re{X} = Im{Z}/Im{X}

Kvoten mellan två komplexa tal Z & X är reellt om Re{Z}/Re{X} = Im{Z}/Im{X}

Hur visar man det?

Eftersom arg(Z/X) = arg(Z) - arg(X) är Z/X reellt om och endast om X och Z ligger på samma linje genom origo i komplexa talplanet. Det gör de om och endast om Re(Z)Im(X) - Re(X)Im(Y) = 0.

Re(z)/Re(x) = Im(z)/Im(x) betyder att Re(z) = c Re(x) och Im(z) = c Im(x), där c = Re(z)/Re(x). Detta innebär att vektorn (Re(z), Im(z)) = c (Re(x), Im(x)), vilket i sin tur precis betyder att z = c x, dvs c = z/x. Eftersom c = Re(z)/Re(x) är kvoten mellan två reella tal gäller att c är reell. Alltså är kvoten z/x reell.