Vektorer

Hej! Jag har två uppgifter som jag tampas med.

1. Låt u och v vara givna vektorer och w den vektor man får om vektorn v vrids 90 grader motsols i planet.
Bevisa att det(u,v) = -u*w.

- Jag tänker att u=(x1,y1) och v=(x2,y2).

det(u,v) =

x1 x2
y1 y2

= x1y2-x2y1.

När vektorn v vrids 90 grader så byter dess koordinater plats: v=(x2,y2) blir w=(y2,x2).
Så jag ska bevisa att x1y2-x2y1 = -(x1,y1)*(y2,x2).
Hur ska jag fortsätta här? Jag är lite osäker på när vektorn vrids också, är det inte så att den byter tecken också?


2. Antag att u och v är vinkelräta. Bevisa att |det(u,v)| = |u||v|

- Skulle behöva lite ledning på denna. Jag vet att t.ex. |u| ska ses som sträckan på veckorn. Hur räknar jag ut den?
Och hur ska jag tolka |det(u,v)|?

Tackar!

Nästan. Om du roterar (x, y) vinkelrätt motsols så får du (-y, x). Använd en enhetscirkel för att illustrera.

|det(u,v)| är helt enkelt absolutbeloppet av determinanten. |u| beräknas som sqrt(x²+y²) om det är tvådimensionella vektorer (x,y), sqrt(x²+y²+z²) om det är tredimensionella (x,y,z), och så vidare.

När jag ska visa att det(u,v) = -u*w.
Är det då skalärprodukten mellan -u*w jag ska räkna fram?

Hur kommer det sig att |u| beräknas som sqrt(x²+y²)? Går det att härleda från pythagoras kanske?

Tack för bra svar!

Ja, och ja.

u = (x1, y1)
v = (x2, y2)
w = (-y2, x2)

det(u,v) = x1y2-x2y1.

-u*w = -|u||w|*cosθ = -|sqrt(x1² + y1²)||sqrt(-y2² + x2²)|

Jag kan inte få till ett bra uttryck att räkna vidare ifrån.
Vet inte hur jag ska hantera vinkeln θ i skalärprodukten samt dom negativa uttrycken jag har (-u och -y2²).
Någon som kan?

Vad använder du den definitionen för? Enklare är ju att (a1,a2,...,an)*(b1,b2,...,bn) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn.

Åh just det!
Jag använder den för att jag inte har koll på att det finns en annan. Men nu när du säger det så känner jag igen den.
Måste ta och uppdatera mig på definitionerna,

Men måste inte u och w vara ortagonala för att man ska få använda
(a1,a2,...,an)*(b1,b2,...,bn) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn?

Nä. Kolla upp inre produkt.