Determinant vid matrismultiplikation

En tentafråga som har gäckat mig i ett par år (aldrig fått se tentasvaren):

A är en 10x5 matris. B är en en 5x10 matris. Vilka värden kan det(AB) anta? Motivera ditt svar.

Jag vill säga att man inte kan säga någonting om det(AB) utan det kan anta alla möjliga värden. Ganska säker på att det är vad jag svarade också men fick inga poäng på frågan. Frågan var värd 10 poäng så det borde finnas en del vettigt att säga i ett svar.

Var den första kursen i linjär algebra på ett civilingenjörsprogram för övrigt, så ingen superavancerad matematik ska krävas.

Det låter faktiskt väldigt märkligt med en sådan fråga, speciellt i en grundläggande linj.alg.kurs.

Jag vet faktiskt inte, hade svarat likadant.

fick för mig (kan ha fel) att det bara är kvadratiska matriser som har determinant

det(AB) är inte definierad om jag minns rätt

Den kan endast vara noll. Detta eftersom nollrummet för B måste åtminstone ha dimension 5, pågrund av dimensionssatsen. Alltså måste även dimensionen på nollrummet för AB åtminstone vara 5, och därmed är det(AB) = 0.

Determinanten av en enskild matris A eller B är ej definierad då man endast kan ta matrisen av en kvadratisk matris. Alltså n*n.

det(A*B) = det(A)*det(B) gäller endast för n*n matriser.

A och B var för sig är ej av dimension n*n.

A*B är av dimension 10*10 eftersom matrismultiplikationen A*B är definierad. Detta kanske skulle ge några fler poäng.

Svårt att säga vad de söker dock :P

Det där borde ju inte ge mer än max någon enstaka tröst-poäng dock, så som frågan var ställd. Dimensionssatsen där ovan låter ju mera rätt, men lite i värsta laget om det var första mattekursen.

Var längesedan jag höll på med detta så jag kommer inte riktigt ihåg terminologin, men du ger intryck av att veta vad du pratar om så jag sparar ditt svar tillsvidare. Tackar.

Detta var en av de svårare uppgifterna (VG/MVG-uppgift) på en tenta för teknisk fysik/teknisk matematik vilket väl är bland de program med mest avancerad första års matematik, så jag tror inte svaret är orimligt avancerat. Var definitivt bekant med alla dessa begrepp en gång i tiden.

Det är riktigt att bara kvadratiska matriser har determinant, med matrisen AB är kvadratisk med "måtten" (dimensionen?) 10x10 så AB har en determinant.

Innesko har såklar rätt.
Om man inte känner sig bekväm med hans förklaring kanske man kan tänka såhär:

Vi kan lägga till "noll kolumner" för att få en 10x10 matris
A´=[A 0]
och på B kan vi lägga till "noll rader" för att få en 10x10 matris B'.

Det krävs inte alltför mycket för att inse att A'B'=AB,
nu kan vi använda det(AB)=det(A'B')=det(A')det(B')=0.

Fast Inneskos förklaring eller varianter av det är mycket bättre.