Induktionsfråga

Hej! Jag har en uppgift som ser ut såhär:

Låt M(3x3 matris) =


Beräkna M^n, där n är ett heltal större eller lika med 1.
Visa påståendet med induktion.

Jag skulle behöva lite ledning för att påbörja och genomföra uppgiften.
Vad menar dom med att upphöja matrisen med n?
Tror mitt största problem ligger i att jag inte jobbat med induktionsbevis med matriser utan bara enklare talföljder.
Inser dock att jag ska skriva om detta som en talföljd på något vis.
Tack på förhand!

M^2 = M*M
M^3 = M*M*M

Antingen beräknar du några av dessa och ser om du hittar ett mönster för att få fram ett induktionsantagande gällande M^n eller så testar du om det går att skriva om M så att M = V*D*V^-1, där D är en diagonalmatris. Då blir M^n = V*D^n*V^-1, vilket är lätt att beräkna.

Tack för ditt svar!
Mina matriser är då:
1 0 0
1 1 0
1 1 1 för n=1

1 0 0
2 1 0
3 2 1 för n=2

1 0 0
3 1 0
6 3 1 för n=3. Det är ett uppenbart mönster här, hur får jag fram ett induktionsantagande?

Angående den andra metoden så förstod jag inte vad som menas med V. Och med diagonalmatris, menar du då en på trappstegsform eller reducerad trappstegsform?

M^4 är

1 0 0
4 1 0
10 4 1

Vi ser då att M^n verkar vara

1 0 0
n 1 0
1+2+3+4+...+n n 1

vilket kan skrivas som

1 0 0
n 1 0
n(n+1)/2 n 1

Vi testar för n=2

1 0 0
2 1 0
3 2 1

Ja det stämde.

M^(n+1) = M^n*M
1 0 0
n 1 0
n(n+1)/2 n 1

*

1 0 0
1 1 0
1 1 1

=

1 0 0
1+n 1 0
n(n+1)/2+n+1 1+n 1

=
[n(n+1)/2+n+1 = (n^2+n+2n+2)/2 = (n^2+3n+2)/2 = (n+1)(n+2)/2]
=
1 0 0
n+1 1 0
(n+1)(n+2)/2 n+1 1

Tack för ett utförligt och bra svar.
Förstod dock fortfarande inte metoden: M^n = V*D^n*V^-1. Som du nämnde innan.

Det var en metod som troligtvis inte var tänkt att använda på detta problem. Det var jag som tänkte lite för lite bara. Men det är en metod för att enkelt kunna beräkna potenser av matriser. Istället för att behöva göra n st fulla matrismulplikationer kan man dela upp sin matris i tre andra och få ett enklare uttryck för M^n. Läs om eigen decomposition om du är intresserad.