Mattekluring, kombinatorik.

Hej! Jag har en uppgift som jag hoppas någon skulle kunna hjälpa mig med.
Den lyder som följer:

Anna, Kalle och Sara står tillsammans med tre andra personer i en kö. På hur många sätt kan sex personer stå i kö? På hur många sätt kan sex personer stå i kö, så att Kalle inte står sist i kön? På hur många sätt kan sex personer stå i kö, så att Anna inte står först i kön och Sara inte står sist? Svaren ska ges i uträknad form.


Det är 3st frågor dom vill ha svar på om jag förstår det rätt.
Den första tror jag att jag har kläm på. Att 6 pers kan stå i kö på 6*6*6*6*6*6 = 6^6 olika sätt.
Hoppas någon smart kan förklara för mig Tack på förhand!

Tänk dig att du har en hög med 6 lappar, så att du har allas namn på en lapp. När du sedan placerar ut lapparna i en kö kan du välja bland 6 lappar när du väljer första lappen. Därefter finns, i tur och ordning, 5, 4, 3, 2 och en lapp kvar. Totalt 6*5*4*3*2*1, vilket skrivs 6! (6 fakultet).

Fråga två börjar vi med att placera ut på sista platsen. Vi kan välja bland 5 (Kalle kan ju inte stå sist). Därefter 5 igen, 4, 3, 2, 1. Totalt 5*5*4*3*2*1=5*5!.

Jag tror att du börjar se hur man ska tänka.

Tack för ett snabbt och bra svar!

Har suttit och räknat lite på sista frågan nu.
Jag börjar med att placera ut på första platsen. Vi kan välja bland 5 (Anna kan inte stå först).
Sen placerar jag ut på sista platsen. Vi kan välja bland 5 där också (Sara kan inte stå sist)
Så jag får 5*4*3*2*1*5=5*5! Kan det vara så att det blir samma svar som fråga 2? Eller missar jag något?

Tänker man lite känns det orimligt att det är samma som fråga 2. Det skulle på något sätt säga att om man placerar alla slumpmässigt är det lika stor chans att man "förhindrar" två stycken att hamna på förbjudna platser som att man bara hindrar en enda.

Vi kan inte sätta A på första platsen, 5 alternativ. När du tänker sätta någon på sista platsen vet du inte om du har satt S på första platsen, och därmed kan välja fritt, eller om du har S kvar att placera ut. Det blir ju olika antal alternativ. Antingen falluppdelar du här, eller så använder du den s.k. inklusion-exklusionsprincipen som ger:

antalet du söker = antal sätt att placera ut alla - antal sätt där A hamnar först - antal sätt där S hamnar sist + antal sätt då A är först och S sist

Den sista termen för att du tagit bort när A och S hamnar på sina förbjudna platser i två termer.

Antalet jag söker är då:

x = 6*5*4*3*2*1 - (A) 5*4*3*2*1 - 1*2*3*4*5 (S) + (A) 4*3*2*1 (S).
x = 6! - 5! - 5! + 4! = 504 olika sätt.

Har satt in (A) och (S) för att visa hur jag placerar lapparna. I sista termen lägger jag ut A först och S sist i kön. Då har jag 4 personer kvar att placera på 4 platser (4*3*2*1).
Hur ser detta ut?

Det är inte jag som ska övertyga dig om svaret, det är du som ska övertyga mig

Jag är rätt säker på att jag tänkt rätt!
Samtliga sätt att placera ut 6 lappar subtraherat med antal sätt att placera dom båda fallen som är otillåtna.
Vilket ger att jag har tagit bort för många pga. att jag subtraherat dom otillåtna fallen var för sig och därför tagit bort samma lappar i två omgångar. Jag kompenserar med att addera antalet då A är först och S sist!
Känns lite som när man arbetar med venn diagram, dra ifrån och lägga till..
Tack ska du ha för hjälpen!

Du har tänkt rätt!