Allmänt sätt att ta fram tangentekvationen för en funktion?

Om jag har tex funktionen y(x)=Cos(x) så är y'(x)=-Sin(x) då.

Hur kan jag ta fram tangentfunktionen i inte bara en punkt I Cos(x). Vi får ju nåt I stil med:

g(x) = -Sin(x)*x+m Men hur gör man sen? Hur kan man skriva m som en function av x då eftersom hela funktionen måste bero på x ju ?

Det är bättre att försöka bestämma tangenten i en punkt p.

g(x) = -Sin(p)*x+m

x får inte både vara variabel i tangentekvationen samtidigt som man bestämmer tangenten i punkten x.

För att hitta m löser man ekvationen

g(p)=cos p

-sin(p)*p+m=cos p

m=cos p+sin(p)*p

Jovisst, jag har koll på hur man hittar tangenten I en punkt men skulle vilja ha funktion för alla punkter som sagt


Eller är det det som du beskrev ovan? En tvåvariabelfunktion :S ?? eller nåt

g(x)=-Sin(p)*x+Cos(p)+Sin(p)*p

Är detta funktionen för tangenten I alla punkter menar du?

Eller:

g(x)=-Sin(x)*x+Cos(x)+Sin(x)*x

??

Ja, formeln ger tangenten för alla punkter p.

Allmänt har vi att lutningen för tangenten är: k=(y2-y1)/(x2-x1) <=> y2-y1=k(x2-x1) <=> y2=k(x2-x1)+y1

Säg att vi vill hitta tangentlinjens ekvation som går genom (x1, y1) och döp om (x2, y2) till (x, y) ovan. Då får vi ekvationen:

y=f'(x1)(x-x1)+y1=f'(x)(x-x1)+f(x1)

som alltså anger godtycklig tangentlinje för funktionen f i (x1, y1)=(x1, f(x1)).

Ja, du har ju en variabel som anger i vilken punkt du tar tangenten, och sedan en variabel som parametriserar tangenten.

Om vi identifierar en linje y = kx + m med paret (k, m) så eliminerar vi på så sätt parametriseringsvariabeln.
Då gäller att tangenten till y = f(x) i punkten x = a är (f'(a), f(a) - a f'(a)).
Alltså kan vi definiera funktionen T(x) = (f'(x), f(x) - x f'(x)) och se denna som en funktion som för ett givet x ger tangenten till f i x.