skriv på formen a+bi

Bestäm alla lösningar (i ) till ekvationen x^3- 3ix^2 - x - 2i = 0

Ekvationen innehåller en komplex koefficient och därför kommer ett konjugerande par inte vara en rot till ekvationen. Ekvationen är en tredjegradsekvation och kommer maximalt ha tre rötter. Vi börjar med att hitta en rot till ekvationen. Jag testar med olika rötter för att hitta en rot, jag testar med i, -i, 2i och -2i. Det visar sig att 2i är en rot till ekvationen.
p(x) = x^3- 3ix^2 - x - 2i = 0, där x = 2i
(2i)^3- 3i(2i)^2 – (2i) - 2i ⟺ -8i +12i -2i -2i =0
x = 2i är en lösning till ekvationen. Vi utför polynomdivision av p(x) med (x-2i)
(x^3- 3ix^2 - x - 2i )/(x-2i) = x2 – ix +1
Så för att hitta de sista rötterna kvadratkompletterar vi (x2 – ix +1) = 0
(x2 – ix +1) = 0
(x - i/2)2 +5/4 = 0
(x - i/2)2 = - 5/4
(x - i/2) = √((-5)/2)
x = i/2 ± √((-5)/2)
Så våra tre lösningar till ekvationen är x1 = -√(5/2) + i/2, x2 = 2i, x3 = √(5/2) + i/2


nu till problemet, min lärare säger att jag ska skriva svaret i a+bi. och att det inte ska vara roten ur 2 i nämnaren. Kan någon se vart jag gör fel eller hur han menar?

I det fetstilta gör du fel.
Det första är att du tar roten ur ett negativt tal och bryter inte ut i, du ska få (x-0.5i)=0.5i√5. Sedan så blir roten ur 4an i nämnaren 2 men du missar att skriva den utanför rottecknet. Du missar alltså att flytta ut nämnaren från rottecknet när du redan tagit roten ur.

ett annat problem är detta.

Ekvationen x^6 + 4x^4 + 16x^2 + 64 = 0 har en rot 2i. Bestäm samtliga rötter i .

Vi börjar med att konstatera två saker. Det första är att polynomet p(x) enbart har reelle koefficienter, då kommer komplexa nollställen i konjugerande par. De andra är en följd av konjugerande paren. Faktorsatsen säger att om det finns en rot 2i, delas p(x) med faktorn (x-2i). Eftersom komplexa rötter kommer i konjugerande par delas också p(x) med (x-2i)(x+2i)=x2+4.
Vi utför polynomdivisionen p(x) delat med k(x)=x2+4,

(x^6+4x^4+16x^2+64)/(x^2+4) = x4 + 16

Då får vi att p(x) = (x2+4)(x4+16)+0 = 0
Då behöver vi faktorisera q(x)=(x4+16) för att få fram de konjugerande komplexa talen, och hitta rötterna till ekvationen binomiskt.
(x^4+16) = (x^2+4i)(x^2-4i)

X^2 =± 4i ger att ±4i = ±4e^(iπ/2). Så X^2 = ±4e^(iπ/2). Vi drar roten ur på båda sidor och får x = ±√4 e^(iπ/2).
X blir då ±√4 (1/√2+i/√2 ) = ±2 (1/√2+i/√2 ) = ± √2 (1+i) = ± √2 ± √2i
Så våra 6 stycken rötter är +2i, -2i, -√2 - √2 i och √2 + √2 i


"Det skall vara 6 rötter, inte 4 som jag skriver. (Du missar två
rötter när du löser din binomiska ekvation; när du skriver på polär form
måste du komma ihåg att även du kan addera multiplar av 2pi till
argumentet och få fler lösningar. "

så skriver min lärare på denna uppgiften, men jag förstår inte vad han menar. ser ni vad jag missar?

då blir det ju så här då

(x - 1/2 i) = 1/2 i√5
(x) =+- i√5

Nästan, det blir x=0.5i ± 0.5i√5 =0.5i(1+√5)

nu har jag skrivit såhär:

(x^2 – ix +1) = 0
(x - 1/2 i)2 +5/4 = 0
(x - 1/2 i)2 = - 5/4
(x - 1/2 i) = - 1/2 √5
(x - 1/2 i) = 1/2 i√5
(x) =± 1/2 i (1+√5)
Så våra tre lösningar till ekvationen är x1 = - 1/2 i (1+√5), x2 = 2i, x3 = +1/2 i (1+√5)

Här står det fel. När du gör om ett negativt rottal till ett positivt så blir det som att bryta ut i.
Sedan när du tar roten ur i båda leden för att få bort kvadraten i vänsterledet så måste du tänka på att högerledet kan vara både positivt och negativt, alltså

(x - 1/2 i)2 = - 5/4
(x-0,5i)=±√(-5/4) = ±0,5i√5

Flytta sedan över 0,5i så du har x ensamt, alltså:

x=0,5i ±0,5i√5 = 0,5i(1±√5)

nu har jag skrivit såhär:

(x^2 – ix +1) = 0
(x - 1/2 i)2 +5/4 = 0
(x - 1/2 i)2 = - 5/4
(x - 1/2 i) = - 1/2 √5
(x - 1/2 i) = 1/2 i√5
(x) =± 1/2 i (1+√5)
Så våra tre lösningar till ekvationen är x1 = - 1/2 i (1+√5), x2 = 2i, x3 = +1/2 i (1+√5)

Alternativ metod är att låta z = x² då övergår den i:

z³ + 4z² + 16z + 64 = 0

Nu eftersom x = 2i är en rot så är z = x² = -4 en rot dvs vi kan skriva:

z³ + 4z² + 16z + 64 = (z + 4)(z² + az + b) för lämpliga a och b. Man set lätt att b = 16. Därför blir det:

(z+4)(z² + az + 16), nu ska 4az+16z=16z vilket ger a=0 så det blir:
(z+4)(z²+16)=(z+4)(z+4i)(z-4i)

Därefter kan vi lösa x² = +- 2i för att finna rötterna.

När du uttrycket i på polärform ska du inte skriva i=e^(iπ/2) utan i=e^(iπ/2 + 2πni)

Någon som kan hjälpa mej?