Hur approximerar man ln(0,1) ?

Vi har en del på vår tenta då man ska kunna approximera t.ex. ln 0,1. Svaret får avvika med 10% ungefär. Någon som vet hur man ska tänka? tack

Man kan approximera den med en taylor serie, http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm . Sen får man ta med så många termer som behövs för att få rätt noggrannhet.

Hmmm.

Jag hade nog börjat att skriva ln(0,1) = -ln(10) och sedan försökt uttrycka 10 på formen e^(a), där a är ett reellt tal.
Detta kan ju förstås också vara lite svårt att få en bra approximation till då e=2,718....
men jag hade nog velat ha exponenten a uttryck som en multipel av 0.25, anledningen till det blir att det är enklare att jobba med rötter om någonting är upphöjt i t.ex. 0.25(dubbelrot) istället för 0.3

Min lösning
ln(0,1)=-ln(10)=-ln(e^a)

Vi vill då att e^a ska vara så nära 10 som möjligt. Jag avrundar först e till 2.72 och höjer upp det i först 2 och sedan 3 eftersom man inser att 10 ligger någonstans mellan 2.72^2 och 2.72^3

2.72^2~7.4
2.72^3~20.1

Detta resultat antyder att a ska vara inom intervallet [2 2,5].

Jag testar 2.72^2.5=2.72^2 * 2.72^0.5 ~ 7.4*1,65 =12.21 - 2.5 är alltså för stort så vi testar 2.25. (Btw så provar jag mig fram till det fetstilta genom "smarta" gissningar. Jag vet att, eftersom 1.5^2=2.25 och 2^2=4, att roten ur 2.72 ligger mellan 1.5 och 2)

2,72^2,25 = 2,72^2*2,72^0.25 ~ 7,4*1,65^0,5 ~ 7,4*1,285=9.509 - Nu får det räcka.

Vi får då att ln(0,1)=...=-ln(e^2.25)=-2.25, vilket är en rätt schysst approximation med tanke på att ln(0,1)=2.-2.3025...

Vi får en felprocent på 1- (-2.25/ln(0,1))=0,023 = 2,3%

EDIT: Anledningen till att a ligger inom intervallet [2 2,5] var egentligen ett antagandet ifrån min sida. Grunden till det antagandet är att 2.72^2=7.4 och 2.72^3=20.1, där 7.4 ligger mycket närmare 10 än vad 20.1 gör och därför drog jag slutsatsen att a borde ligga närmare 2 än 3. Detta är dock ett resonerande inte helt utan problem. Hade vi haft ett linjärt samband hade det varit lugnt men nu är det exponentiellt växande så det finns ingen garanti att detta tankesätt fungerar jämt. Det bästa hade varit att undersöka vad 2.72^2.5 är innan man uttryckte sig om inom vilket intervall a ligger i.

Man kan försöka med Newton Raphsons metod.

Låt f(x)=e^x-10

Ska nu försöka hitta en lösning till f(x)=0.

Som startvärde tas x0=2.

f'(x)=e^x

x1=x0-f(x0)/f'(x0)=2-(e^2-10)/e^2=1+10/e^2

Det uttrycket kan beräknas ganska lätt för hand genom att t ex approximera e med 2.7.

x1=2.4

e^2.4-10~=0
e^2.4~=10
2.4~=ln 10
ln 0.1=ln (10^-1)=-ln 10~=-2.4

Edit: Man kan göra ytterligare ett Newton-Raphson steg med mycket approximationer och få x2=2.3

ln 0,1 = ln (1-0,9) = - (0,9 + 0,9^2/2 + 0,9^3/3 + 0,9^4/4 + ...)

Har man tagit med termer t.o.m. 0,9^n/n gäller att summan av resterande termer är
0,9^(n+1)/(n+1) + 0,9^(n+2)/(n+2) + 0,9^(n+3)/(n+3) + ...
< 0,9^(n+1)/n + 0,9^(n+2)/n + 0,9^(n+3)/n + ...
= 0,9^(n+1) (1 + 0,9 + 0,9^2 + ...)/n
= 0,9^(n+1) * 1/(1-0,9) * 1/n
= 10 * 0,9^(n+1) * 1/n
Detta ger en grov uppskattning av felet.

Man kan använda approximationen ln(x+1)~=x för x nära 0.

ln 10=ln(e^2*10/e^2)=ln(e^2)+ln(10/e^2)~=2+ln(10/7)~=2+ln(1.4)~=2+0.4=2.4

ln 0.1=-ln 10=-2.4

ln 10= integral från 1 till 10 dx/x

Trapetsmetoden med trapetser som har basen i intervallen [1,2],[2,4],[4,10]

ln 10~=2.55

Trapetsmetoden med steglängd 1 ger

ln 10~2.38

En kombinerad metod.

3~=ln 20=ln 2+ln 10

ln 10~=3-ln 2

ln 2=integral från 1 till 2 dx/x

Trapetsmetoden med 1 steg ger

ln 2~=0.75

ln 10~=3-0.75=2.25

Trapetsmetoden med 2 lika steg ger

ln 2~=0.7

ln 10~=3-0.7=2.3