Jag har stor anledning att anta att summan S=sum(k²)_k=2..n inte har en lösning som kan skrivas på formen c²=S, men jag klarar inte riktigt att bevisa det.
Det här är vad jag har gjort hittills.
Det här är vad jag har gjort hittills.
Med tal menas positivt heltal.
Lemma 1:
Ett tal på formen c²+r där 0<r<2c+1 är inte ett kvadratiskt tal.
Bevis:
Det är uppenbart att det inte finns något kvadratiskt tal mellan c² och (c+1)², och
eftersom (c+1)² = c² + (2c+1) blir även satsen uppenbar.
Q.E.D.
Lemma 2:
Alla tal kan på ett unikt sätt skrivas på formen c²+r där 0<=r<2c+1
Bevis:
(1) Eftersom (c+1)² = c² + (2c+1) är det uppenbart att inget tal på formen c²+r där 0<r<2c+1
kan skrivas som en jämn kvadrat, men om r=0 får vi c² och om r=2c får vi (c+1)²-1. Det
är då uppenbart att alla positiva heltal kan skrivas på formen c²+r där 0<=r<2c+1.
(2) Man inser lätt att c²+r < (c+1)² och att c²+r > (c-1)² + 2(c-1) om 0<=r<2c+1.
(3) Man inser lätt att det inte kan finnas något tal d=c² sådant att d=/=c.
(4) Genom (2) och (3) ser vi lätt att c²+r =/= d²+s om r<=0<2c+1 och 0<=s<2d+1.
Genom (1) och (4) inses att varje heltal, på ett unikt sätt, kan uttryckas på formen
c²+r, 0<=r<2c+1
Q.E.D.
Sats:
sum(k²)_k=2..n inte är ett kvadratiskt tal
Bevis:
n=2:
sum(k²), k=1..2 = 1²+2²=5
Det stämmer för n=2
Enligt lemma 1 och 2 kan vi på ett unikt sätt uttrycka sum(k²), k=1..n på formen c²+r, 0<r<2c+1
Vi antar att satsen gäller för n=p
sum(k²)_k=1..p = c²+r
sum(k²)_k=1..p+1 = sum(k²)_k=1..p + (p+1)² = c²+r+(p+1)² = c² + r + p²+2p+1
= (p+1)² + c² + r
Vi vill visa att 0<c²+r<2(p+1)² för i så fall är (p+1)² + c² + r inte ett kvadratiskt tal. (lemma 1)
Det är uppenbart att 0<2c+r
c²+r<2(p+1)²
c²+r<2p²+4p+2
Eftersom c²+r = p*(p+1)*(2p+1)/6-1 är c²=O(p³). VL växer alltså snabbare än HL och denna olikhet
gäller alltså inte.
Lemma 1:
Ett tal på formen c²+r där 0<r<2c+1 är inte ett kvadratiskt tal.
Bevis:
Det är uppenbart att det inte finns något kvadratiskt tal mellan c² och (c+1)², och
eftersom (c+1)² = c² + (2c+1) blir även satsen uppenbar.
Q.E.D.
Lemma 2:
Alla tal kan på ett unikt sätt skrivas på formen c²+r där 0<=r<2c+1
Bevis:
(1) Eftersom (c+1)² = c² + (2c+1) är det uppenbart att inget tal på formen c²+r där 0<r<2c+1
kan skrivas som en jämn kvadrat, men om r=0 får vi c² och om r=2c får vi (c+1)²-1. Det
är då uppenbart att alla positiva heltal kan skrivas på formen c²+r där 0<=r<2c+1.
(2) Man inser lätt att c²+r < (c+1)² och att c²+r > (c-1)² + 2(c-1) om 0<=r<2c+1.
(3) Man inser lätt att det inte kan finnas något tal d=c² sådant att d=/=c.
(4) Genom (2) och (3) ser vi lätt att c²+r =/= d²+s om r<=0<2c+1 och 0<=s<2d+1.
Genom (1) och (4) inses att varje heltal, på ett unikt sätt, kan uttryckas på formen
c²+r, 0<=r<2c+1
Q.E.D.
Sats:
sum(k²)_k=2..n inte är ett kvadratiskt tal
Bevis:
n=2:
sum(k²), k=1..2 = 1²+2²=5
Det stämmer för n=2
Enligt lemma 1 och 2 kan vi på ett unikt sätt uttrycka sum(k²), k=1..n på formen c²+r, 0<r<2c+1
Vi antar att satsen gäller för n=p
sum(k²)_k=1..p = c²+r
sum(k²)_k=1..p+1 = sum(k²)_k=1..p + (p+1)² = c²+r+(p+1)² = c² + r + p²+2p+1
= (p+1)² + c² + r
Vi vill visa att 0<c²+r<2(p+1)² för i så fall är (p+1)² + c² + r inte ett kvadratiskt tal. (lemma 1)
Det är uppenbart att 0<2c+r
c²+r<2(p+1)²
c²+r<2p²+4p+2
Eftersom c²+r = p*(p+1)*(2p+1)/6-1 är c²=O(p³). VL växer alltså snabbare än HL och denna olikhet
gäller alltså inte.
