Bevis av Z=Z+Z?

När du skriver att Z är sluten under addition. Tänker du på Z som en kropp då?

Att Z är sluten under addition är ett axiom. Z är för övrigt ingen kropp, då den saknar multiplikativa inverser för vissa element i Z.

Jag tänker på Z som en mängd. Att Z är sluten under addition innebär att om m och n båda ligger i Z, så ligger även m+n i Z.

För övrigt är Z ingen kropp eftersom Z\{0} inte är sluten under division. Därför kan jag inte tänka på Z som en kropp.

Nej, det är en sats.

Du har helt rätt. Jag fick för mig att det följde av ett trivialt resonemang från ett av Peanos, men det är inte alls trivialt.

Jo, men en mängd är väl bara en mängd, varken mer eller mindre. Det är väl först när man talar om en kropp eller ring som det följer med axiom till mängden. Z är inte en kropp, men Z är väl en ring?

En mängd i sig kommer utan struktur och operationer mellan elementen.
Det betyder inte att man måste plocka bort alla operationer så fort man skapar en mängd, t.ex. en delmängd av en ring.

Betrakta t.ex. A = { 0, 3, 6, 9, ... } som en delmängd av de naturliga talen. Givet två naturliga tal är summan av dem definierad som ett naturligt tal. Om vi tar två tal ur A, vilka alltså är naturliga tal, är därmed summan av dem definierad, och den är ett naturligt tal. Men det är inte säker att summan ligger i A. Vi kan därför fråga oss om A är sluten under addition.