Bevis av Z=Z+Z?

Låt Z var mängden av alla heltal. Går det att bevisa att Z=Z+Z? Hur ser i så fall ett sådant bevis ut?

Vi visar Z = Z + Z genom att visa Z ⊆ Z + Z och Z ⊇ Z + Z.

Z ⊆ Z + Z
Antag n Є Z. Då gäller n = n + 0 Є Z + Z.
Alltså gäller Z ⊆ Z + Z.

Z ⊇ Z + Z
Antag n Є Z + Z. Då gäller n = n1 + n2, där n1 Є Z (vänstra operanden till +) och n2 Є Z (högra operanden till +). Eftersom Z är sluten under addition gäller att n Є Z.
Alltså gäller Z + Z ⊆ Z, dvs Z ⊇ Z + Z.

Då både Z ⊆ Z + Z och Z ⊇ Z + Z gäller, gäller Z = Z + Z.

Tack så mycket.

Om vi definierar den komplexa logaritmen som:

log(z)=ln|z|+iarg(z)+i2kπ, kЄZ.

Är det samma sak som att definiera logaritmen som:

log(z)=ln|z|+iarg(z)+i2Zπ

Om man med ln|z|+iarg(z)+i2kπ, kЄZ avser mängden { ln|z|+iarg(z)+i2kπ, kЄZ } så är det samma sak.

Om man med ln|z|+iarg(z)+i2kπ, kЄZ avser talet ln|z|+iarg(z)+i2kπ för något kЄZ, så är det inte samma sak.

Tänk att Z > 1 & < = Z. Tar man då Z och dividerar med > så har man <Z - < vilket ger Z^2.

Z > 1 = Z * Z / Z = Z + Z

Ett annat skrivsätt är:

log(z)=ln|z|+iarg(z)+i2kπ, k godtyckligt heltal.

Hur ska detta tolkas?

Vad f-n håller du på med?

Skillnaden är alltså "k godtyckligt heltal" i stället för "kЄZ"?
Ser ingen principiell skillnad.

I stället för att fastna i hur du ska tolka andras skrivsätt, se till att du är tydlig själv.

Om vi tar skrivsättet:

log(z)=ln|z|+iarg(z)+i2kπ för något kЄZ

Så är det ju på sätt och vis alla tal k i mängden Z på en gång fast vi behandlar ett k i taget så att säga. Vet inte om du förstår hur jag menar?

När det står "för något kЄZ" brukar det innebära att det finns exakt ett kЄZ så att likheten gäller, inte att det handlar om en mängd.

Definitionen

log(z)={ ln|z|+iarg(z)+i2kπ, kЄZ }

är väldigt tilltalande för den talar om precis vad som menas, men jag har inte sett den komplexa logaritmen beskrivas som en mängd i någon bok eller på internet.

Om det nu är så man menar ...


Här definierar de Arg(z) som principialvärdet (ett reellt tal), och arg(z) som en mängd:
https://en.wikipedia.org/wiki/Arg_%2...cs%29#Notation

Från Arg och arg till Log och log är ju inte steget långt.