Oändlig många primtal

Hejsan.
Jag har riktig stora problem att bevisa att det finns oändlig många primtal.

Vad jag kan än så länge är att för att visa nästa primtal(vi säger att vi vet 2,3,5) så finns det en formel som lyder p1,p1...pn +1. Så nästa primtal är 2+3+5 +1 = 11, vilket är ett primtal.

2+3+5+11+1 = 22... 22 är inget primtal, då stämmer inte formeln??!??!?! Hur ska man göra? Andra frågan är

Visa att det finns oändlig många primtal efter talet 4000. Här tänkte jag om jag matar in olika primtal i p1,p2,p3...pn tills jag börjar närma mig siffran 4000. Men då stämmer inte den formeln heller. Snälla hjälp jag känner mig helt lost

Uhm, har du inte glömt bort 7 nu?

Ja och 7an är med en jobbig grej. Om vi börjar med formeln från primtal 2+1 = 3 --> 2+3+1 = 7. vad hände med 5an nu om vi kör den formeln......

Säker på att du har rätt formel och att du inte missat något villkor som måste uppfyllas? Vad heter formeln?

Om vi tar ett gäng primtal och bildar en ändlig mängd, p1,p2,...,pn
Av alla dessa primtal bildar du det nya talet P=p1+p2+...pn + 1 och med aritmetikens huvudsats kn vi också skriva P som en produkt av primtal, P=q1+q2+...qm.

Nu finns det två alternativ: P är ett primtal eller så är det inte det.
Om P är ett primtal så finns det fler än n-st primtal den godtyckliga mängden av n-st primtal kan utvidgas. Du kan alltså alltid utöka en mängd av primtal, vilken du än har valt.

Om P inte är ett primtal så har det en delare som är ett primtal. Detta tal kan inte vara något av p1,p2,...,pn eftersom det skulle ge en rest på 1 vid division. Primtalen som är delare åt P är alltså inget av de primtal i mängden p1,p2,...,pn utan något annat. Detta betyder att det finns fler primtal än de n-st vi redan har.

Jävligt bra skrivet, Men kan du ge ett exampel på ett nytt tal som är primtal och ett tal som inte blir primtal, hur du dividerar talet som inte är primtal med mera..

tillexempel bevisa att dt finns fler primtal efter 4000

Var har du fått den där regeln från? Om vi börjar som brukligt med att definiera 1 som ej ett primtal och 2 som ett primtal, då får vi sedan "primtalen" 2+1 = 3, 2+3+1 = 6, 2+3+6+1 = 12, 2+3+6+12+1 = 24, 2+3+6+12+24+1 = 48 osv. Du måste ha missförstått någonting, vad du ska göra är istället att

1. Anta att det finns ändligt många primtal p1,p2,...,pn
2. Bilda produkten p1*p2*...*pn
3. Bilda talet N genom att addera 1 till produkten ovan

Genom dess konstruktion kommer N nu ge resten 1 vid division med p1, p2, ..., pn, men enligt aritmetikens fundamentalsats är varje tal en produkt av ett eller flera primtal, så antingen har N primtalsfaktorer större än pn, eller så är N själv ett primtal. Oavsett vilket så har vi visat att givet "alla" (ändligt många) primtal så kan vi hitta ett primtal som är större. Detta är en motsägelse, alltså kan det inte finnas ändligt många primtal.

Ett exempel med siffror:

Om vi har de fem första primtalen 2,3,5 och bildar talet P=2*3*5 + 1 = 30+1=31. I detta fall råkar vi få ett primtal (31 är ett primtal) och vi kan utvidga mängden till 2,3,5,31.

Om vi bildar ett nytt tal T=2*3*5*31 + 1=930+1=931. Detta är inte ett primtal och har därför en delare som är ett/flera primtal som INTE är något av 2,3,5,31.
Vi primtalsfaktoriserar 931 och får att 931=7*7*19. Lägg till 7 och 19 till mängden så att du nu har
2,3,5,7,19,31.



Vill du visa att det finns fler primtal efter 4000 kan du göra precis osm jag skrev i mintt första inlägg. Den enda skillnad är att mängden p1,p2,...,pn nu inte är godtycklig utan du specificerar att detta är de n-st primtal som är mindre än 4000. Du göra sedan sak som jag gjorde och visar att det finns minst n+1-st primtal och eftersom de första n primtalen var mindre än 4000 måste det n+1 vara större än 4000.