Definition av argument (komplext tal)?

Jag har lite funderingar om argument för komplexa tal. Som grund för mitt resonemang använder jag Wikipedia:

http://sv.wikipedia.org/wiki/Argument_%28matematik%29

1. Där kan man först läsa att argument är vinkeln θ då ett tal skrivs på polär form. Det vill säga re^iθ.

2. Sedan längre ner så beskrivs argumentet som en flervärd funktion arg z.

Var i ligger skillnaden mellan dessa två synsätt? Vilket är mest korrekt? Menar dem samma sak?

Det har väl betydelse för hur man definierar den komplexa logaritmen:

1. log(z)=ln|z| + iθ + i2kπ.

2. log(z)=ln|z| + iarg z.

Har du pluggat trigonometri? Eftersom e^(vi), där v är argumentet till det komplexa talet z kan skrivas om till cos v+isin v så betyder det att funktionen v, dvs i vårt fall arg z får samma värde i enhetscirkeln för v+2pi, v+4pi etc... Därav att arg z (v) är en flervärdig funktion

Är det korrekt att säga att arg z kan vara ett av många möjliga värden? Det vill säga den är inte alla värden samtidigt? I så fall bör logaritmen skrivas:

log(z)= ln|z|+i*arg(z)+i2kπ.

När man talar om flervärda funktioner så har man en så kallad prinicpalgren. För arg(z) brukar man ange principalgrenen som mellan -pi och pi. Då brukar man också skriva Arg(z), med stort A. Som du har skrivit där så skall det inte vara något +i2kpi.

Även engelska Wikipedia kan vara till hjälp:

http://en.wikipedia.org/wiki/Argumen...ex_analysis%29

Där går att läsa:

arg z={Arg z+2πk:kЄZ}

Det som gjorde mig lite konfunderad är att arg z här är en mängd, men så tror jag att en flervärd funktion även kan kallas mängdfunktion.

Hur kommer det sig då att θ är en variabel och arg z är en mängd? Det är väl lite motsägelsefullt?

Det är inte alls motsägelsefullt. För varje vinkel (och radie) finns exakt ett komplext tal, men för varje komplext tal finns det flera vinklar.

Jag vet att arg z är en flervärd funktion. Menar du att vinkeln v också är en flervärd funktion?

Min tolkning:
I (1) är log(z) ett vanligt komplext tal från någon av grenarna.
I (2) är log(z) och arg(z) antingen båda vanliga komplexa tal från någon av grenarna eller båda flervärda funktioner.


Jag skulle vilja skriva:

arg(z) := θ Є [0, 2π) så att z e^(-iθ) Є [0, ∞). (Alternativt används principalgrenen.)
arg(z) := arg(z) + 2π Z = { arg(z) + k 2π | k Є Z }.

log(z) := ln |z| + i arg(z).
log(z) := ln |z| + i arg(z).

Här betyder fetstil att det är en mängd.

Jag konsulterade en av mina böcker i komplex analys. Enligt den så verkar det vara så att om z=e^iθ, så är θ=arg(z). Det innebär väl att θ=arg(z) är en flervärd funktion.

Betrakta uttrycket sqrt(-4).

Vad är mest korrekta att skriva:

1. sqrt(-4)= ±2i

2. sqrt(-4)= {2i, -2i}

Kanske är något alternativ felaktigt?

Kan man tolka argumentet som ett tal eller som en mängd beroende på sammanhanget?

Vad menar du när du skriver sqrt(-4)= ±2i ? Är det att sqrt(-4) är ett av alternativen ±2i men att man kan välja vilket som, eller är det att det är båda alternativen samtidigt?

I det förra fallet tolkar jag det som att du säger att det finns två grenar, och att i den ena är sqrt(-4) = +2i, i den andra -2i.

I det senare fallet tolkar jag det som att du säger att sqrt(-4) är flervärd, dvs sqrt(-4) = { +2i, -2i }.

Jag tänkte att fall 1 och fall 2 beräknas på samma sätt genom att använda att:

-4=e^log(-4)=e^(ln|-4|+iπ+i2kπ), k godtyckligt heltal.

Jag tänkte att fall 2 kanske var en mer formell eller stringent beteckning än fall 1?

Jag frågade inte efter hur de beräknas utan efter vad första skrivsättet betyder. Vad menar du när du skriver ± något?