Kompexa rötter (paradox)

Betrakta:

1=sqrt((-1)^2)=sqrt(-1)sqrt(-1)=sqrt(i^2)sqrt(i^2)=i*i=i^2=-1.

Var i ligger felet? Är det inte så att man får göra åtskillnad mellan reell och komplex analys när man benar ut detta, eller är det feltänk?

Om vi tänker oss √ som den vanliga kvadratroten för reella, positiva tal gäller inte:

√((-1)·(-1)) = √(-1)√(-1)

Dessutom finns det problematik i att √(i²) = i om vi fortfarande rör oss med den vanliga kvadratroten. Så det enkla svaret är att vi behöver komplex analys för att göra uttryck som √(-1) meningsfullt och även i den komplexa analysen får man vara försiktig med "vanliga" regler som √(a·b) = √a·√b om man nu har utvidgat √ till att även innefatta komplexa tal.

sqrt((-1)^2)=sqrt(-1)sqrt(-1) är inte giltigt eftersom potenslagar likt a^x*b^x = (ab)^x gäller för icke-negativa a och b.

Kvadratroten, och mer generellt z^α där α inte är ett heltal, är flervärd (ej entydig) i komplex analys.
I komplexanalysen är alltså 1^(1/2) = { +1, -1 }, dvs ger samtliga rötter till z² = 1.
Men för icke-negativa reella argument definierar vi ju sqrt = √ som den icke-negativa reella lösningen till ekvationen.
Det kan därför vara lämpligt att särskilja mellan de två varianterna av kvadratrötter.


Litet analys av "beräkningen" ovan

1 = sqrt((-1)²)
Här är sqrt varianten som tar icke-negativa reella argument och returnerar ett entydigt icke-negativt reellt värde. Annars hade vänsterledet behövt ha både +1 och -1 (förslagsvis som en mängd).

sqrt((-1)²) = sqrt(-1) sqrt(-1)
Här är sqrt plötsligt funktionen som även tar negativa reella samt komplexa argument.

sqrt(-1) sqrt(-1) = sqrt(i²) sqrt(i²)
Inget konstigt här.

sqrt(i²) sqrt(i²) = i i
Kom ihåg att sqrt för icke-negativa reella argument är flervärd.
Alltså är det korrekta sqrt(i²) sqrt(i²) = (±i) (±i), som ju har värdena ±1.

i i = i² = -1
Inget konstigt här.


Ett alternativ till att låta sqrt vara flervärd är att bara välja ett av värdena.
Förslagsvis: Om z = r e^(iθ), där r ≥ 0 och 0 ≤ θ ≤ 2π, så definierar vi sqrt(z) = sqrt(r) e^(iθ/2).
För icke-negativa reella z överensstämmer denna definition med den ordinarie.

Problem: Här gäller inte formeln sqrt(z w) = sqrt(z) sqrt(w).

Exempel:
Det gäller att sqrt(-i) = sqrt(1 e^(i 3π/2)) = sqrt(1) e^(i 3π/4) = (-1 + i)/√2.
Så sqrt(-i)² = (sqrt(1) e^(i 3π/4))² = sqrt(1)² (e^(i 3π/4))² = 1 e^(i 3π/2) = -i vilket är bra.
Men sqrt((-i)²) = sqrt(-1) = sqrt(1 e^(i π)) = sqrt(1) e^(i π/2) = +i.
Alltså, sqrt(-i)² = -i ≠ sqrt((-i)²) = +i, och i allmänhet gäller inte sqrt(z w) = sqrt(z) sqrt(w) generellt (olikhet gäller då arg(z) + arg(w) ≥ 2π).

Kan du analysera var det går snett i din likhetskedja om du använder den här definitionen av sqrt?

Tack för ett bra svar. Jag kom fram till att felet ligger i denna denna del av likhetskedjan:

1=sqrt((-1)^2)=sqrt(-1)sqrt(-1).

Det inses av att:

sqrt((-i)²) = sqrt(-1) = sqrt(1 e^(i π)) = sqrt(1) e^(i π/2) = +i.

ty

sqrt((-i)²)=sqrt(i²).

Om vi använder din gren av den komplexa logaritmen så får vi:

sqrt((-1)²)=e^(iπ)=-1 som är skilt från 1.

Vidare gäller att

sqrt(-1)=e^(iπ/2)=i.

Därmed tror jag att jag redogjort för det ställe där likhetskedjan brister. Jag hoppas att jag inte gjort något räknefel som är så lätt att göra.

Nej, sqrt((-1)²) = sqrt(1) = 1.


1 = sqrt((-1)²)
Detta gäller.

sqrt((-1)²) = sqrt(-1) sqrt(-1)
Vänsterledet har värdet 1 enligt föregående korrekta steg.
Högerledet har däremot värdet -1.
Denna likhet gäller alltså inte.

sqrt(-1) sqrt(-1) = sqrt(i²) sqrt(i²)
Inget konstigt här.

sqrt(i²) sqrt(i²) = i i
Även detta är korrekt nu.

i i = i² = -1
Så är även detta.

Men om 0 ≤ θ ≤ 2π. Då kan vi ju skriva sqrt(1) på två sätt:

sqrt(1)=e^0=1

eller

sqrt(1)=e^iπ=-1

Hur kommer detta sig?

Manne menade 0 ≤ θ < 2π med strikt olikhet till höger.

Precis. Det är lätt att göra sådana redaktionella misstag.

Den grenen för den komplexa logaritmen som har argument i intervallet 0 ≤ θ < 2π är inte principalgrenen enligt:

http://sv.wikipedia.org/wiki/Principalgren

men jag tycker att det är den gren som känns mest naturlig.

En sak som har relevans för den här trådens frågeställning är skillnaden mellan reell och komplex analys. Är det så att skillnaden är införandet av den imaginära enheten. Så att man kan säga att imaginära tal inte existerar i reell analys?

Eh, ja. Reell analys handlar om reella tal. Där är imaginära och komplexa tal okända ting.

Kan man kortfattat säga att problemet med den här likhetskedjan är att den använder räkneregler för reell analys på negativa och komplexa tal?