Beräkna "Charasteristic function" till X^2

Hej!

Sitter lite och funderar hur jag ska gå tillväga,

Givet är att X är en standard normalfördelad stokastisk variabel N(0,1)

vi söker den karasteristiska funktionen för X^2

Allmänt vet vi att

g(x) = integral över hela x axeln f(x)*exp(-i*t*x) dx

Nu undrar jag hur vi kan hitta g(x) för X^2? försökte med att Y = X^2 och X = roten ur (Y) och stoppar in i formeln men jag får fel svar.

Någon kunnig som kan hjälpa ?
tack på förhand

Du börjar med att plocka fram f(x).

f(x) ? Du menar alltså att jag ansätter x = sqrt(y) i f(x) = (1/sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2).
Gör jag det får jag (1/sqrt(2*pi))*exp(-y/2), med jakobianen 1/2*y^(-1/2) så funktionen blir:

g(t) = 1/sqrt(2*pi)*(1/2)*integral över hela axlen (y^(-1/2))*exp(-y/2)*exp(i*t*y) dy

vilket jag tycker blir en äcklig integral?

Vet inte riktigt vad som menas med "charasteristic function", menar du kanske täthetsfunktionen? I så fall, låt Y = X² och titta på fördelningsfunktionen:

F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(X² ≤ y) och om y ≤ 0 gäller trivialt att F_Y(y) = 0. För y ≥ 0:

F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(X² ≤ y) = P(-√y ≤ X ≤ √y) = Φ(√y) - Φ(-√y) = Φ(√y) - (1 - Φ(√y)) = 2Φ(√y) - 1 och vi vill nu ha ut täthetsfunktionen gissar jag på och detta får vi genom att derivera fördelningsfunktionen.

(F_Y(y))' = f_Y(y) = 2Φ'(√y)·1/(2√y) = Φ'(√y)·1/√y

Vi har definitionen Φ(s) = 1/√(2π) ∫_{0, s} e^(-s²/2) ds så av analysens huvudsats får vi:

f_Y(y) = Φ'(√y)·1/√y = 1/√(2π)·e^(-(√y)²/2)·1/√y = 1/√(2π)·e^(-y/2)·1/√y

Vi kan nu sammanfatta detta i att:

f_Y(y) = 0 om y ≤ 0 och f_Y(y) = 1/√(2π)·e^(-y/2)·1/√y om y ≥ 0

Där f_Y(y) alltså är täthetsfunktionen för den stokastiska variabeln Y.

Nej inte riktigt, det är den karakteristiska funktionen jag söker.

http://en.wikipedia.org/wiki/Charact...lity_theory%29

ty jag vet att summan av två s.v X + Y är produkten av deras karakteristiska funktion g_X(t)g_Y(t), likadant som teorin om fouriertransformer