Stjärngossen och myran.

Uppgiften är att ta sig ett varv runt konen. Det står ingenting om att man måste tillbaka till sin startposition. Jag antar iofs att startpositionen är nere vid kanten på konen, men det står det ju faktiskt heller ingenting om.

Kul problem!

Provade mannes rullmetod och det tycks bli en ganska brant lutande kurva. Tänkte sedan att man kan väl alltid ta till storsläggan med en linjeintegral som man sedan minimerar med Euler-Lagranges ekvation. Då får man ju det exakta uttrycket för den kurva som ger kortaste avståndet. Fastnade dock på att beskriva vägen på ytan av en kon

Den ritade kurvan blev ganska lik en ellips. Om man ansätter det tänkte jag, så blir problemet enkelt igen. Det är bara att beskriva ellipsen som funktion av lutningen mot konens bas och sedan minimera omkretsen. Såg sedan att uttrycket för en ellips omkrets innehåller en elliptisk integral samt att stor- och lillaxlarna inte får speciellt snygga uttryck som funktion av vinkeln.

Gjorde en snabb numerisk lösning i stället. Jag definierar vinkeln alfa som vinkeln mellan konens ytteryta och ellipsens plan. 75° ger att ellipsen sammanfaller med konens bas och 0° att ellipsens storaxel ligger kloss med en stråle på konens ytteryta.

Om jag räknat rätt ger vinkeln alfa=40.7° att omkretsen blir så liten som möjligt. Bilden visar omkretsen som funktion av vinkeln samt en skiss över geometrin (lånad från Wikipedia).

http://i1061.photobucket.com/albums/...psd8a68419.jpg

Om nu en ellips ger den kortaste vägen vet jag inte men kurvan kommer helt klart att behöva "luta" ganska mycket.

Ett möjligt koordinatsystem för en kon är en variant av polära koordinater (r, φ):
x = r sin(θ) cos(φ)
y = r sin(θ) sin(φ)
z = r cos(θ)
Här är θ inte en koordinat utan en parameter, närmare bestämt halva toppvinkeln.

För beräkning av metriken differentierar vi:
dx = dr sin(θ) cos(φ) - r sin(θ) sin(φ) dφ
dy = dr sin(θ) sin(φ) + r sin(θ) cos(φ) dφ
dz = dr cos(θ)
Metriken ges av ds² = dx² + dy² + dz² = dr² + r² sin²(θ) dφ².

Man ska därför minimera integralen
∫ ds = ∫ √(dr² + r² sin²(θ) dφ²) = ∫ √(r'(t)² + r(t)² sin²(θ) φ'(t)²) dt
över kurvor (r(t), φ(t)) med givna start- och slutpunkter.

Detta är ett problem inom variationskalkyl.

Men om man utför utrullningen matematiskt från dessa koordinater så blir lösningen så mycket enklare eftersom ekvationen för en rät linje är välkänd och närmast trivial.

Utrullningen till xy-planet ges av
x = r cos(sin(θ) φ)
y = r sin(sin(θ) φ)
z = 0

Vi differentierar:
dx = dr cos(sin(θ) φ) - r sin(sin(θ) φ) sin(θ) dφ
dy = dr sin(sin(θ) φ) + r cos(sin(θ) φ) sin(θ) dφ
Metriken blir ds² = dx² + dy² = dr² + r² sin²(θ) dφ² dvs samma som tidigare.
Detta visar att det faktiskt är en utrullning.

En rät linje kan beskrivas genom en parametrisering:
x(t) = x(0) + t vx
y(t) = y(0) + t vy

Från detta kan man få fram en formel uttryckt i (r, φ) och om man så vill en kurva på struten.
Det är litet bökigt, så jag orkar inte göra det här och nu. Kanske kan en alternativ parametrisering av linjen förenkla.

Fysik, matematik och teknologi --> Naturvetenskapliga uppgifter
/Moderator

Precis, det var det jag var ute efter.

Hittade en väldigt elegant lösning på nätet:

http://physics.ucsd.edu/students/cou...geProblems.pdf

De använder cylinderkoordinater och för in koniciteten genom att uttrycka z som r/tan(θ). Linjeintegralen blir inte så komplicerad så manglandet i Euler-Lagrange blir hanterbart och slututtrycket är nästan märkligt enkelt (φo = 0):

r cos(φ sin(θ)) = ro

Deras val av riktningar i koordinatsystemet är lite märkligt men om jag gjort rätt kommer den kortaste vägen att se ut så här:

http://i1061.photobucket.com/albums/...ps74d54221.jpg

För ögat ser kurvan precis ut som den man får om man följer