Stjärngossen och myran.

Hejsan! jag har fått en uppgift (eller gåta kanske man ska kalla det för...) av min Fysiklärare som jag skulle behöva lite hjälp med.


http://www.ladda-upp.com/bilder/8251...ssen-och-myran

Man ska förklara vad den kortaste sträckan för myran att ta sig ett varv runt konen är.


tack på förhand!

Om jag förstått det rätt så kan man se det som en 100mm hög kon och myran står längst ner och ska gå ett varv runt? Konen har en vinkel på 30grader.

Du har höjden, du tar graderna/2 dvs 15. Där efter kan du räkna sträckan i mitten från konen ut till hypotenusan det vill säga radien (motstående katet i ditt fall).

http://www.matematikvideo.se/images/trigonometri.png

Du ska öppna konan, och dra en rak linje från ena hörnan till andra. Det är kortaste vägen.

Rulla ut konen så att pappret blir plant. Dra en rät linje mellan start och slutpunkt. Rulla sedan ihop pappret till en kon igen. Då har du närmsta vägen.

Tyvärr finns det ingen kon jag kan rulla ut, det är en teoretisk fråga.

Rejman: jag har ska fråga om din teori stämmer imorgon.

Det är en teoretisk utrullning.

Vetej om det är rätt. Suger i paint kom jag på nu. Tack för mig.

http://i.cubeupload.com/4aBpnT.png

Sen kan du ju räkna och jämföra hur långt det är ifall myrjäveln får för sig att gå upp för konen och sen ner på andra sidan för att komma runt. Vilket som är längst lixom..

Tänker du dig ett varv på konstant höjd på konen? Det är inte kortaste sträckan. Rullar man ut struten ger det en cirkelbåge.

Har ritat lite till.
http://www.luontonetti.com/jorma/JJJ/lakki.png

Det stämmer ju inte alltid. Tex är kortaste sträckan när höjden är liten jämfört med radien att gå är rakt upp till toppen och sedan rotera ett varv på toppen.

Om man tittar på den utvecklade konen så har vi en triangel med sidorna x, x, och z, där z är den sträcka som du sade är kortast. Förhållandet mellan dessa och vinkeln v (som sitter mellan längerna x,x) är
z^2 = 2x^2(1-cos(v))
=> z = x*sqrt(2(1-cos(v))
z är alltså kortare än x endast då:
1-cos(v) < 1/2 => v > pi/3

Nu har du nu tänkt lite tokigt. Lösningen fungerar alltid då den utvecklade konen är konvex (I konvexa mängder är kortaste vägen alltid raka vägen så att säga). Alltså om den utgör en cirkelsektor med vinkel som mest pi. Är det samma sak som du säger? Jag får inte riktigt ekvationerna att gå ihop, kanske tolkar din vinkel v fel.

Vad menar du med "rotera ett varv"?

I vilket fall så är fortfarande kortaste sträckan inte att gå till toppen utan att följa vad som ser ut som en båge uppåt längs struten.