Area på snitt av cirkel?

Har en axel. 10mm i diameter. Vi fräste ner den 1mm från en sida. Hur många procent vikt förlorade axeln (förutsatt att vi fräste längst hela axelns längd)?

Det handlar alltså om att räkna ut arean på ett snitt av en cirkel. Cirkeln är 10mm i diameter. Tar man bort 1mm såhär (det gröna området)...

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...egment.svg.png

...hur stor area har det gröna området? Arean på cirkeln torde väl bara vara radien*radien*Pi? Dvs. 78,5 kvadratmillimeter.

Ja.

Om du har vinkeln θ så är det enkelt att räkna ut. Arean av cirkelsektorn är r^2*Pi*θ/360 (om du räknar i grader). Och arean av triangeln som bildas i cirkelsektorn är r^2*sin θ.

Så det gröna området har arean: r^2*Pi*θ/360 - r^2*sin θ.

:S

Jag... kan inte räkna sånt där. Kan i princip bara Matte B från högstadiet.

Så om jag kunde få svaret i form av X kvadratmillimeter så skulle det uppskattas till tusen. Tar man in en axel på 10mm i diameter 1mm från sidan, hur många procent har den tappat i vikt?

Det är h som är 1 mm?

Ja. "d" är 4mm.

Då borde vinkeln bli 2 * arccos(4 / 5) ≈ 73,74 grader.

Arean blir A = {cirkelsektorns area} - {triangelns area} = R² θ / 2 - c d / 2, där θ mäts i radianer.

Vi har:
R = 5 mm
h = 1 mm
d = R - h = 5 mm - 1 mm = 4 mm
c/2 = √(R² - d²) = √((5 mm)² - (4 mm)²) = 3 mm
θ/2 = arctan((c/2)/d) = arctan((3 mm)/(4 mm)) = 0,6435 (rad)

Alltså får vi
A = (5 mm)² * 2 * 0,6435 / 2 - 6 mm * 4 mm / 2 ≈ 16,1 mm² - 12 mm² = 4,1 mm²


Hela cirkelns area är R² 2π / 2 = π R² = 3,14 * (5 mm)² = 78,5 mm².

En fråga som jag själv är intresserad av, om TS vill ha ett så exakt svar som möjligt, vilken av variablerna bör han försöka mäta för hand, h, c eller θ? Och varför?

Enklast att mäta är 2R - h, men eftersom ett fel i detta kan påverka det beräknade c rätt mycket kan det vara bra att även försöka mäta c.

Utan att göra en ordentlig felanalys skulle jag rekommendera att mäta både 2R - h och c, för att använda dessa värden som grund för beräkning av d och θ, och därmed av A.

Tack för svar.

Så tar man 4.1/78.5 så får man alltså fram att axeln tappar 5.22% av sin vikt genom att fräsa av 1mm från en sida (hela vägen).