Talflöjd, konvergens

Jag har x_{n+1} = ½*(x_{n} + 2/x_{n}). Jag vill visa att (x_{n})^2 > 2, hur gör man det? Tips?

x_{n + 1}² = (x_n / 2)² + 1/x_n² + 1 ≥ 2 √((x_n / 2)² * 1/x_n²) + 1 = 2√(1/4) + 1 = 2

Där jag använder mig av AM-GM olikheten, notera att likhet endast gäller då

(x_n / 2)² = 1/x_n²

dvs då x_n = ±√(2)

Så, så länge du inte startar på något av dessa värden så kommer alltså x_{n}² > 2 för alla n.

Frågan är egentligen fel, för om x_{n}=+-sqrt(2) är (x_{n+1})^2 = 2.

För att bevisa att (x_{n})^2 >= 2 så bildar jag funktionen

f(x)=(1/2*(x+2/x))^2=1/4*(x^2+4+4/x^2)

Den går mot oändligheten då x går mot 0 eller +-oo. Den är alltid större än 0. Den måste ha en minimipunkt. Minimipunker kan finnas då f'(x)=0.

f'(x)=1/4*(2x-8/x^3)=0

2x=8/x^3 => x^4=4 => x^2=2 => x=+-sqrt(2)

f(+-sqrt(2))=1/4(2+4+4/2)=2

Alltså är 2 det minsta värde som (x_{n})^2 kan anta.