Operatorrelationer

Behöver hjälp med att visa ett par satser.

If the angular momentum opertor L is a vector operator, then any vector operator A satisfies

1. A×L = -L×A + 2iA

2. L×L = iL

(L×L)_z = L_x L_y - L_y L_x = [L_x, L_y] = i L_z
P.s.s. erhålls x- och y-komponenterna.


(A×L)_z = A_x L_y - A_y L_x
(L×A)_z = L_x A_y - L_y A_x

Detta ger:
(A×L + L×A)_z = (A_x L_y - A_y L_x) + (L_x A_y - L_y A_x)
= (A_x L_y - L_y A_x) + (L_x A_y - A_y L_x) = [A_x, L_y] + [L_x, A_y]

Men hur ska vi få detta till 2i A_z ?

Att en operator A är en vektoroperator innebär, utöver att den har tre komponenter, att den också transformerar korrekt vid rotationer av rummet. Om n är en enhetsvektor och θ en vinkel, låt R(n, θ) beteckna operatorn som roterar ett kvantmekaniskt tillstånd runt axeln n och en vinkel θ. Låt också Q(n, θ) beteckna den linjära operatorn R³ -> R³ som roterar en vektor runt axeln n med en vinkel θ. Att A är en vektor betyder då att om man först applicerar roterar hela rummet, och sedan applicerar A, så är det samma sak som att först applicera A, sedan rotera hela rummet, men sedan också rotera vektorn A med samma rotation. Vi har alltså

A R(n, θ) = R(n, θ) Q(n, θ) A.

L är den kvantmekaniska generatorn för rotation, vilket betyder att vi har formeln (hbar = 1)

R(n, θ) = exp(-iθ n · L).

Vidare så finns formeln

Q(n, θ) = exp(n' θ)

där n' betecknar matrisen med komponenter ε_ijk n_k. Om man nu stoppar in dessa, och sedan deriverar med avseende på nθ, så borde man få formeln du ska visa. (Men jag har inte gjort beräkningen själv, och jag reserverar mig för teckenfel eftersom jag inte riktigt tänkt igenom huruvida R och Q betecknar medsols eller motsols rotation.)

Kommutatordefinitionen av vector operator är kanske [L_x, A_y] = i A_z samt cykliska permutationer av denna relation. I så fall får vi
(A×L + L×A)_z = [A_x, L_y] + [L_x, A_y]
= -[L_y, A_x] + [L_x, A_y] = -(-iA_z) + iA_z = 2iA_z
Övriga komponenter analogt.

Därmed får vi
A×L + L×A = 2iA
dvs
A×L = -L×A + 2iA.

Jepp, exakt. Man kan se det från vad dbshw skrev, villkoret för att A är en vektor är att
A = R Q A R^-1
med R,Q enligt dbshws inlägg. Om man sen låter vinkeln θ vara en infinitesimal parameter, och utvecklar till första ordningen i θ, så får man villkoret från att första ordningen försvinner som (L_i A_j - L_j A_i - i ε_ijk A_k)=0, vilket är precis det villkoret.