Största och minsta värde

Ange största och minsta värde för funktionen:

f(x) = sin 2x + cos 2x

Hur tänker man? Finns det en formel?

Svaret ska tydligen bli:

Största:√2
Minsta:-√2

Lösningsgång: Derivera funktionen. Sätt derivat lika med noll och räkan ut, så vet du var funktionen har max och min-punkter. Kolla om funktionen har några asymptoter. Skissa en graf. Se vart globalt max och globalt min är. Klar.

Finns det inget lättare sätt? Vi har inte gått igenom asymptoter...

sin2x + cos2x = √2(1/√2·sin2x + 1/√2·cos2x) = C·sin(2x + Φ) = C(sin2x·cosΦ + cos2x·sinΦ)

Detta ger alltså att C = √2 och cosΦ = 1/√2 och sinΦ = 1/√2. Här duger Φ = π/4 fint.

f(x) = sin2x + cos2x = √2·sin(2x + π/4)

Härur ser vi lätt att f(x) har maximum √2 samt minimum -√2.

sin(2x) + cos(2x) = √2 * (sin(2x) * 1/√2 + 1/√2 * cos(2x))
= √2 * (sin(2x) * cos(π/4) + sin(π/4) * cos(2x))
= { sin(u+v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u) "baklänges" }
= √2 * sin(2x + π/4)

Eftersom sin(2x + π/4) har maximum +1 och minimum -1 får sin(2x) + cos(2x) maximum +√2 och minimum -√2.