Bevisa transitivitet hos mängder

Givet tre mängder P, Q och R, visa att P~Q och Q~R medför att P~R. Hur gör jag detta egentligen, jag vet inget om mängderna? Tycker det är en konstig uppgift, detta är ju ett av kriterierna för att givna mängder ska utgöra en ekvivalensklass och därför känns det inte som att det bara går att visa för godtyckliga mängder, eftersom det uppenbarligen inte alltid gäller, eller?

Det gäller inte alltid att P~Q eller Q~R, men det gäller alltid att om P~Q och Q~R, så gäller även P~R.

Jämför med likhet hos vanliga tal: x = y gäller inte alltid, inte heller y = z. Men om x = y och y = z så gäller x = z.

Dum fråga för mig att ställa efter att jag påstått ovanstående, men vad betyder ~ för mängder?

Ja, okej. Jag vet inte, tycker det är ett självklart påstående så vet inte riktigt vad jag ska visa. Definitionen jag har är att om A~B så är f:A->B 1-1 och på.

Fast givet att R är en binär relation behöver xRy och yRz inte implicera xRz. Sätt x=en varg, y=ett rådjur, z=gräs och R är relationen "kan tänka sig att äta". Då gäller "En varg kan tänka sig att äta ett rådjur" och "ett rådjur kan tänka sig att äta gräs" men vargar äter inte gräs.

Edit:
A~B betyder att A och B är ekvivalenta mängder, i det avseende att A~B omm det finns en funktion f:A->B s.a. f är en bijektion

Du vet att f är en bijektion mellan P och Q och att f är en bijektion mellan Q och R, du vill visa att då är f en bijektion mellan P och R.

Bevis:
Du vet att det finns en funktion f:P->Q som är bijektiv och en funktion g:Q->R som också är bijektiv. Då är g o f: P->R också bijektiv. Alltså gäller P~R

Jag menade inte att det gäller för godtycklig binär relation utan att det gäller för den här.

Men måste man inte visa att g o f är bijektiv om f och g är bijektiva i så fall? Eller anses det självklart? För jag kan tycka att det är precis lika självklart som det jag ska bevisa från början?