Förklara - - = + till en 12 åring?

Jag håller med om att visuella förklaringar oftast är bäst. Men i detta fallet känns det helt galet. Det räcker ju med att flickan ritar upp "arean" för ett positivt x och ett negativt y så ser det likadant ut. Skulle inte det trassla till det för henne? Att det plötsligt känns ologiskt? Då känns det bättre att säga till henne att hon får helt enkelt ta det som att det är så. Det beviset som srnivisa gör kan man visa tio gånger lättare. Man behöver inte flänga med termer som homomorfi och endomorfi. Jag kan ärligt talat säga att jag inte ens hört talas om dom termerna under min tid på högskolan.

Ah, vafan.. jag gör ett försök med utgång ifrån srnivisas inlägg.

Vi utgår ifrån detta samband.
(-1) x (1 + (-1)) = 0
Det är inget konstigt, 1 +(-1) är lika med noll. Och (-1) muliplicerat med noll är lika med noll.

Tittar vi på vänsterledet kan vi se att han multiplicerar in -1 till respektive term (distributiva lagen).
(-1) x (1 + (-1)) = (-1) x 1 + (-1) x (-1). Nu är ju det här lika med noll. Första termen (-1) x 1 är ju lika med -1. Då måste den andra termen dvs. (-1) x (-1) vara lika med 1. Alltså ett positivt tal.

Jag vet inte.. men det känns inte så svårt att förstå. Men jag är inte tolv år heller. Lär sig verkligen tolvåringar multiplikation med negativa tal överhuvudtaget? Känns ganska tidigt. Men det var ett bra tag sen jag gick i grundskolan så jag har väl glömt hur det var.

Vem vet hur barn tänker. Kanske mitt exempel nte fungerar för alla. Jag upplevde att det funkade. Men jag har säkert fel. Det har jag ofta.

Hehe. Jo. men det där diagrammet är lite väl ofullständigt. Kanske till och med felaktigt.

Om barnet tänker vidare på egen hand så leder "diagrammetoden" troligen till slutsatsen att -3 * 4 är 12 istället för -12. Det vore lite olyckligt.

det enklaste är att förklara "avståndet" mellan talen.

5-(-5) förklaras enklast så att det krävs 10 "avstånd" däremellan alltså 10 "pinnhål" mellan 5 till -5

Lägg upp talen på ett papper och skriv 5,4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4,-5 så blir allt tydligt.







Även denna från Revenar var bra, och enkel att ta till sig

4-2=2
4-1=3
4-0=4
4-(-1)= 5

eller

Det är 4 grader ute. Vad händer om jag tar bort tre plusgrader?
Just det det blir kallare, 1 grad varmt.

Det är 4 grader ute. Vad händer om jag tar bort tre minusgrader?
Just det det blir varmare. 7 grader varmt.

Det vore olyckligt. Väldigt olyckligt. Jag menar bara att min förklaringsmodell är applicerbar i just den nämnda situationen. Det finns säkert bättre förklaringsmodeller som är generella.

Vill du utveckla det där? Jag förstår ingenting. Hur hjälper det en tolvåring att förstå något?

En algoritm som löser problemet och de flesta hört talas om men inte kan använda är Newtons metod:

x_(i+1) = x_i - f(x_i)/f'(x_i), där f(x) = x^2 - 2

Vi vet att roten ur två är större än ett och mindre än två, så vi väljer ett startvärde däremellan, säg x_0 = 1.5.

x_1 = 1.5 - 0.25 / 3 = 1.4166...

En ganska skaplig approximation efter en iteration.

Jag skulle förklara det på just flera olika sätt, säga att det här är ett sätt man kan förstå det intuitivt, här är ett annat mer algebraiskt sätt att visa det. Jag skulle heller inte bry mig särskilt om att personen är tolv år, bara man har gott om tid.

En annan variant av det några redan skrivit.

1=1x1=(2-1)(2-1)=2x2-2-2+(-1)x(-1)=(-1)x(-1)

Detta bygger då på distributiva lagarna som man måste acceptera först:
a*(b-c) = a*b - a*c
(a-b)*c = a*c - b*c

Jag tänkte att om man börjar med att visa en liten mängd, t ex {a, b, c} och sen hittar på nån operation, vi kallar den för * eller nåt, och bestämmer att * betyder t ex "längst till vänster", så får man att a*b=a.
Sen kan man göra en liten tabell. Vad blir a*b? Eller b*c?
Sen ritar man upp en tabell med a b c lodrät och vågrät, en liten fyrkant helt enkelt, och fyller i resultaten man får av varje kombination. Om du fortfarande är intresserad så fortsätter jag gärna mina tankegångar, men då måste du först rita tabellen.

Beroende på intresset från 12 åringen kan det krävas olika enkla förklaringar.

Jag föreslår att du kombinerar skuldexemplet med att beskriva positiva och negativa tal som en jämvikt runt likhetstecknet. Alltså det du gör på ena sidan måste du också göra på den andra!

0 = 0

A lånar 100 av B

+100 = -100

A lånar 100 till av B

+200 = -200

A återställer 100 till b

+200 = (-)100 + (-)100 (båda skulderna) om vi nu drar bort en skuld (återställer pengar)

200 = - (-) 100 + (-)100
200 = (-)100 + - (-)100

200 - 100 = (-)100

alltså 200 - 100 = (-)100 - (-)100

Det där var väl ändå inte så lyckat?

Implicerande uppfattning av likhetstecknet. Man ser det som "blir" eller en uppmaning att någonting skall ske.

Mycket vanligt problem ända upp på gymnasiet även i de senare kurserna även om det såklart blir ovanligare och ovanligare.

Det finns en hel uppsjö av felaktiga uppfattningar av likhetstecknet och tragiskt nog finns det inte ens riktigt mycket forskning på det. Man kanske istället borde ställa sig frågan hur värd annan matematikdidaktisk forskning kan vara om elever inte ens kan förstå likhetsrelationen någorlunda rätt.