Vad heter dessa sorters uppgifter?

Hej!
Jag läste matte för ett tag sedan och läraren är inte särskilt hjälpsam eller svarar på mail längre. Ska ha en omtenta och ville googla runt lite och lyckats lära mig och hitta de mesta utom kanske det här då.

Tänkte om jag har ett bra namn så kan jag hitta några liknande på khan academy etc.

Det funkar men eller så vore det supersnällt om någon kunde förklara lösningen!

http://imageshack.us/photo/my-images/577/1uan.jpg/

Piecewise functions kallas de. Tricket för att de ska vara deriverbara i alla punkter är att kolla på grejerna där de "byter" från ena funktionen till den andra. Säg att det sker i x = j då ska:

lim x -> j- f(x) = lim x -> j+ f(x)
lim x -> j- f'(x) = lim x -> j+ f'(x)
a)

f(x) = x^2 om x <= 2
ax + b i övrigt.

Derivatan:

f'(x) = 2x om x <= 2
a i övrigt.

Beräknar vi f(2) = 4 men när x -> 2- blir det 2a+b. Dvs om de ska vara lika i det avseendet måste 2a+b = 4.

Derivatan:

f'(2) = 4 och x -> 2- blir f'(x) = a så alltså måste a = 4. Detta ger 2a + b = 4 <=> 8 + b = 4 <=> b = -4 så:

f(x) = x^2 om x <= 2
f(x) = 4x - 4.

b)

f(x) =
sin(pi x) x <= 0
a + bx, 0 < x < 2
ce^(x^2) x > 2.

f'(x) =
pi cos(pi x) x <=
a, 0 < x < 2.
2xce^(x^2) x > 2.

Börjar för första när x = 0.

f(0) = sin(pi 0) = 0
x -> 0- f(x) = a därför måste a = 0 för att denna ska stämma.

f'(0) = pi
x -> 0- f(x) = b därför måste b = pi.

f(2) = ce^(4)
lim x -> 2- f(2) = a + 2b därmed måste a+2b = ce^4 <=> 2b = ce^4 => c = 2pi/e^4.

Alltså:

f(x) =
sin(pi x) x <= 0
pi x 0 < x < 2
2pi/e^4 * e^(x^2) x > 2.

Sen får man kontrollera att det verkligen stämmer.

Kan det vara grafer det handlar om?

Testa söka efter "piecewise functions".

Edit: Jag var lite sen ser jag. Jag kan bistå med den här sidan iaf, som kanske kan ge ytterliggare insikt.

Skönt efterblivet svar

Nej men skämt åsido, nu fick du en fin lösning från dxdp men annars brukar www.wolframalpha.com ofta vara till förvånansvärt bra hjälp.

Då var det ju grafer...läste det från min mobil, flashbackappen, såg bara en del av uppgiften, därav mitt "efterblivna svar"