Permutationer och transpositioner.

Uppgiften lyder:

"För varje typ av permutation av N4, bestäm antalet permutationer och bestäm om den är udda eller jämn"

Det finns 5 olika typer av permuationer för N4, vi har:

[4], [13], [2^2] , [1^(2)2], [1^4].

(1) antal permutationer av typ [4] = 4!/4 = 6
(2) antal permutationer av typ [13] = 4!/3 = 8
(3) antal permutationer av typ [2^2] = 4!/8 = 3
(4) antal permutationer av typ [1^(2)2] = 6
(5) antal permutationer av typ [1^4] = 4!/4! = 1

Här fastnar jag, definitionen av en udda eller jämn permutationer är varelse permutationen består av ett udda antal eller jämt antal transpositioner. En transposition är i sin tur en permutation av typ [1^(n)2] för något heltal n. Vi ser att permutation (4) redan består av en transposition, dvs den permutationen är udda, och det finns 6 udda permutationer av typ [1^(2)2]. Men (2) då? Hur ser jag varelse permutationen av typ [13] består av ett udda eller jämnt antal transpositioner?

(abcd) = (ad)(dc)(cb) .... udda
(abc)= (ac)(cb) ... jämn
(ab) ... udda
(a) = (ab)(ab) jämn

Det här kanske hjälper dig på traven

Ja tack

Undrar lite över formeln för att skriva permutationer som transpositioner:
(x1 x2 x3.....xr) = (x1 xr)(x1 x(r-1))......(x1 x2)

blir då permutationen (123) = (13)(12) ?

Om man kollar lite längre ner på den här sidan: http://mathcircle.berkeley.edu/BMC3/perm/node4.html

Så ser vi hur att permutaionen (13)(12) = (132)

Hänger inte riktigt med, vad betyder egentligen (13)(12)? Den förklaring som redogörs på sidan jag länkade, är den korrekt? Och varför blir (a) = (ab)(ab)?

Jag förstår problemet... Multiplikation av permutationer är inte kommutativ... dvs
(13)(12) är inte det samma som (12)(13). Problemet som uppstår nu är att hemsidan du läser ifrån börjar från vänster (så gjorde även jag i mitt första inlägg)... dvs då jag vill beräkna (13)(12) så börjar jag med (13) sen går jag över till (12)... Det du gör är att du börjar med (12) och avslutar med (13)... Notera att ingen av oss gör fel... utan definitionerna varierar beroende på författare.

Om det är en kurs du läser, så bör du kolla hur multiplikation för permutationer är definierad i kursboken... Börjar man från vänster eller höger? När du kollat upp det kan jag och andra anpassa våra svar till det.

http://www.ladda-upp.se/bilder/ervzobishkcgn/

Här är ett utdrag från min kurslitteratur. Vi ser hur man demostrerar regeln x1 x2 x3.....xr) = (x1 xr)(x1 x(r-1))......(x1 x2), genom:

(136)(2457) = (16)(13)(27)(25)(24)

Kan jag gå från vänsterled till högerled, genom att använda formeln rakt av, men jag kan inte gå från höger till vänster. Vad betyder egentligen (16)(13)(27)(25)(24)? "1 kastas till 6, sedan kastas 1 till 3?" Har svårt att tolka vänsterled, och ser inte hur det kan vara lika med högerled? Skulle du kunna förklara i ord vad vänsterled står för?

Ok jag börjar från höger till vänster eftersom din bok gör det.

Vi börjar med 1
(24) skickar 1 till 1
(25) skickar 1 till 1
(27) skickar 1 till 1
(13) skickar 1 till 3
(16) skickar 3 till 3
dvs 1 skickas 3

nu kollar vi vart 3an skickas
3 -> 3 -> 3 -> 3 -> 1 -> 6
alltså skickas 3 till 6

6 -> 6 -> 6 -> 6 -> 6 -> 1
6an skickas till 1an (det vi började med). Detta ges av följande permutation (1 3 6).

Nu vet vi hur ska placera 1,3,6. Hur är det med de andra? Vi tar t.ex. 2
2 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 ->4

4 -> 2 -> 5 -> 5 -> 5 -> 5

5 -> 5 -> 2 -> 7 -> 7 -> 7

7 -> 7 -> 2 -> 2 -> 2 -> 2

Representeras av permutationen (2 4 5 7).

Alltså representeras hela bijektionen av (2 4 5 7) (1 3 6).

Du är en hjälte! Tusen tack.

Jag tänkte även, eftersom (12)(13)≠(13)(12), hur vet jag vilken av (2 4 5 7) och (1 3 6) som ska vara först?

Jag observerar ditt svar "Alltså representeras bijektionen av (2 4 5 7)(1 3 6) men i min bok, som du kan se på bilden, står det (1 3 6)(2 4 5 7)? Spelar det någon roll vilken som är först? Och hur vet jag vilken som ska vara först?

Eftersom vi började med 1an så hade vi permutationen som innehöll 1an längst till höger. Hade vi börjat med 2an hade vi fått permutationen som finns i din bok.

Det är sant att multiplikationen är icke-kommutativ, men permutationer som inte har gemensamma element kommuterar med varandra, så i det här fallet så har vi (2 4 5 7)(1 3 6) = (1 3 6)(2 4 5 7).

Juste, är lite seg nu på natten. Tänkte inte på att vi i högerled faktiskt har en produkt av transpositioner (permutationer) och att högerled inte alls är någon produkt, utan snarare en permutation och att ordningen inte spelar någon roll i VL med gör det i HL.