Skalärprodukt, fel i facit? - kan någon kontrollräkna?

Hejsan, jag läser linjär algebra nu över sommaren och har stött på en uppgift som jag antar kan ha ett fel svar i bokens facit.

Uppgiften lyder:

I en triangel ABC är AB = AC = 3 längdenheter. Vidare är skalärprodukten (vector dot product) AB * AC = 2. Bestäm AB * BC.

notera att ovan AB * AC och AB * AC är skalärprodukter och inte kryssprodukter.
jag ritade en triangel som jag använde för att räkna på, bilden jag ritade finns här: http://i.imgur.com/hhbDQj2.png

Jag börjar med att lösa ut vinkeln α mellan AB och AC:

AB*AC = 2
3 * 3 *cos α = 2
α = arccos(2/9)
α = 77.16

När jag nu vet vinkeln kan jag räkna ut längden på sidan BC:

a² = b² + c² - 2*b*c*cosα
= 9 + 9 - 18*cos(77.16)
= 14 => a = sqrt(14) <-- "roten ur"

I och med detta kan jag också få ut vinkeln β:

AB*BC = 3 * sqrt(14) * cos β
β = arccos(3/sqrt(14))
β = 37

Och nu har jag allt jag behöver för att räkna ut skalärprodukten AB * BC:

3 * sqrt(14) * cos(37) = 9

Som ni ser ovan får jag svaret till 9, medans facit får svaret till -7, är det något jag missat på vägen?

Jag uppskattar er som skulle kunna kontrollera om jag gjort fel eller ej, jag har suttit och försökt räkna om uppgiften ett flertal gånger nu med kommer fram till samma svar hela tiden!

Tack på förhand!

Men det är ju trivialt, du skrev ju själv att den är 2.

såg att jag hade skrivit fel, det ska stå AB * BC

Du skriver två gånger att du vill beräkna AB * AC men det verkar som du försöker beräkna AB*BC. Om så är fallet tycker jag att både ditt och facits svar är fel...

För det första måste β och γ vara lika stora, så dina vinklar är uppenbarligen fel då 2*37 + 77.16 ≠ 180. Sen vet jag inte riktigt vad du gör när du beräknar β men om du utnyttjar utnyttjar β = γ så får du ju att β = (180 - arccos(2/9))/2 ≈ 51.42.

Å andra sidan tycker jag facits fel verkar märkligt eftersom en negativ skalärprodukt implicerar att vinkeln mellan de två vektorerna är större än 90 grader, men det kan inte stämma eftersom vinkeln (β) förekommer två gånger i en triangel. Vet du verkligen vad som efterfrågas?

Vektoraddition:
BC = BA + AC = -AB + AC

Sökt skalärprodukt:
AB * BC = -AB*AB + AB*AC = -3² + 2 = -7.

Snyggt! Har du någon aning om varför mitt resonemang är tokigt?

EDIT: Angående att facit är märkligt alltså.

Det är vektorer, riktning spelar roll. Tänk dig att du transporterar upp vektorn BC så punkten B sammanfaller med punkten A, de två vektorerna bildar då en trubbig vinkel mot varann. Däremot så är skalärprodukten BA·BC, hörnet nere i triangeln, positiv och vinkeln däremellan spetsig.

Naturligtvis...

Om vi utgår från TS figur pekar vektorn AB mot kl 8 och BC mot kl 3. Vinkeln mellan AB oc BC är alltså supplementvinkeln till β i figuren.

urk, att jag inte såg att de är lika. Jag är verkligen rostig på detta. Tack för hjälpen! Nu när jag räknade om fick jag svaret till 7. sen -7 pga olikt riktade vektorer.

Fan va lätt du gör det Tack, nu fick jag en smidigare tillvägagångs metod!